高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数同步测试题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数同步测试题，共7页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知函数fx=x2+1x，则y=fx在2,4上的平均变化率为（ ）
A.478B.498C.474D.494

2. 某物体在运动过程中，其位移ℎt（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为ℎt=t2，当Δt>0时，该物体在时间段2,2+Δt内的平均速度是（ ）
A.2m/sB.4m/s
C.Δt2+4Δtm/sD.Δt+4m/s

3. 如图，函数y=fx在1,5上的平均变化率为（ ）

A.12B.−2C.2D.−12

4. 函数f(x)=2x2+1在闭区间[1, 1+Δx]上的平均变化率为( )
A.4+2ΔxB.2ΔxC.4D.2

5. 飞轮在制动后的t秒钟时间内转过的角的大小φ（弧度）可由函数φt=6t−0.5t2来模拟，则飞轮从开始制动到完全停止转动所需的时间（单位：秒）为( )
（注：瞬时角速度ω(t)=φ′(t)）
A.6B.8C.9D.12

6. 已知函数fx在x=2处的切线的斜率为2，则limℎ→0f2+ℎ−f2−ℎℎ=（ ）
A.2B.1C.4D.12

7. 若函数y=fx的图象在点3,f3处的切线方程是y=2x−3，则f3+f′3=（ ）
A.3B.4C.5D.6

8. 已知函数fx=2lnx+8x，则limΔx→0f1+2Δx−f1Δx的值为（ ）
A.−20B.−10C.10D.20

9. 根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为6.25mg/m3，3周后室内甲醛浓度为1mg/m3，且室内甲醛浓度ρt（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间tt∈N ∗（单位：周）近似满足函数关系式ρt=eat+b，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间约为（ ）
A.5周B.6周C.7周D.8周
二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ， ）

10. 若函数f(x)=x2−c在区间[1,m]上的平均变化率为4，则m等于________.

11. 函数y=x在x=1处的瞬时变化率为________.

12. 函数fx=lnx在区间1,e上的平均变化率为________．

13. 函数fx=3x2在2,6内的平均变化率为________．

14. 水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m2/s．

15. 函数y=fx的图象在点P5,f5处的切线方程是y=−x+8，则f5+f′5=_______

16. 已知曲线y=aex+lnx在1,ae处的切线方程为y=2x+b，则实数b=________.
三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ， ）

17. 商f(x+△x)−f(x)△x与x有关吗？令△x→0，x是否应保持不变？

18. 已知质点按照规律s＝2t2+4t（距离单位：m，时间单位：s）运动，求：
（1）质点开始运动后3s内的平均速度；

（2）质点在2s到3s内的平均速度；

（3）质点在3s时的瞬时速度．

19. 运动员从10m高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳ts后运动员相对水面的高度为H(t)＝−4.9t2+6.5t+10，求出：
（1）运动员起跳时刻的瞬时速度；

（2）运动员到达最高点时的瞬时速度；

（3）运动员入水时的瞬时速度．

20. 对于函数f(x)，若f′(x0)存在，则当ℎ无限趋近于0时，下列式子各无限趋近于何值？
（1）f(x0+(−ℎ))−f(x0)−ℎ；

（2）f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)ℎ．
参考答案与试题解析
2022年人教版A版高中高二数学选修1-2第一章第一节变化率与导数练习题含答案
一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）
1.
【解答】
解：ΔyΔx=f(4)−f(2)2=16+14−4−122=478．
故选A．
2.
【解答】
解：由题v=ℎ2+Δt−ℎ2Δt=Δt+4m/s，
故选D．
3.
【解答】
解：由函数平均变化率的定义可得，
函数y=fx在[1,5]上的平均变化率
ΔyΔx=f5−f15−1=1−35−1=−12.
故选D.
4.
【解答】
解：函数f(x)=2x2+1在闭区间[1, 1+Δx]内的平均变化率为：
f(1+Δx)−f(1)Δx=[2(1+Δx)2+1]−(2×12+1)Δx
=2+4Δx+2(Δx)2+1−3Δx=4+2Δx．
故选A．
5.
【解答】
解：由φt=6t−0.5t2，
得飞轮完全停止转动时瞬时速度ωt=φ′t=6−t=0，
解得t=6，
即飞轮从开始制动到完全停止转动所需的时间为6秒.
故选A．
6.
【解答】
C
7.
【解答】
解：由题意可得f(3)=2×3−3=3，由导数的几何意义可得f′(3)=2，因此， f(3)+f′(3)=5．故选：C．
8.
【解答】
因为fx=2lnx+8x，所以f′x=2x+8，
所以limΔx→0f1+2Δx−f1Δx=2limΔx→0f1+2Δx−f12Δx=2f′1=20 ．故选：D
9.
【解答】
B 因为ρ1=ea+b=6.25,ρ3=e3a+b=1,ρ3ρ1=e2a=425，解得ea=25．设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安全开放标准，则ρ(t0)=ea1+b=ea+b⋅eat0−1)=6.25×(25)4≤0.1，整理得62.5≤5200=1，因为524<62.5<52，所以4二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）
10.
【解答】
解：因为ΔyΔx=(m2−c)−(12−c)m−1=4，
所以m=3.
故答案为：3.
11.
【解答】
解：由函数y=x，则y′=12x，
当x=1时，y′=12，
所以函数y=x在x=1处的瞬时变化率为12．
故答案为：12．
12.
【解答】
解：函数fx=lnx在区间[1,e]上的平均变化率为：
f(e)−f(1)e−1=1e−1．
故答案为：1e−1．
13.
【解答】
解：根据题意，函数fx=3x2，
则其在区间[2,6]内的平均变化率为：
ΔyΔx=f6−f26−2=964=24．
故答案为：24．
14.
【解答】
解：因为水波的半径以v=2m/s的速度向外扩张，
水波面的圆面积为S=πr2=π(vt)2=4πt2，
所以水波面的圆面积在时刻t0的瞬时膨胀率S′(t=t0)=8πt0，
当半径为5m时，t=52s，
所以S′(t=52)=8π×52=20π，
即半径为5m时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是20πm2/s．
故答案为：20π．
15.
【解答】
2
16.
【解答】
解：y′=aex+1x，
∴ 当x=1时，k=ae+1，
∴切线方程为y−ae=(ae+1)(x−1)，
即y=(ae+1)x−1．
∴ae+1=2b=−1．
三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）
17.
【解答】
商f(x+△x)−f(x)△x与x有关，x可以是变量，事实上，f′(x)本质上是函数f(x)的函数图象在某点的切线的斜率值，是关于自变量x的函数，
令△x→0，x不改变．
18.
【解答】
3s时，s＝2×9+4×3＝30m，
所以平均速度v=st=303=10m/s；
2s时，s＝2×4+4×2＝16m，
所以2s到3s内的平均速度v=30−161=14m/s；
因为v＝s′＝4t+4，
所以在3s时的瞬时速度为：4×3+4＝16m/s．
19.
【解答】
运动员起跳时刻，t＝0，即运动员起跳时刻的瞬时速度为6.6m/s．
H(t)＝−4.9t8+6.5t+10是关于t的二次函数，对称轴为t=3.52×7.8 =6598，
∴ H′（6598）＝−9.3×6598，故运动员到达最高点时的瞬时速度为0．
运动员入水时，H(t)＝−4.6t2+6.2t+10＝0，解得t≈2.4或−0.9（舍负），
∴ H′(3.2)＝−9.2×2.2+7.5＝−15.36，即运动员入水时的瞬时速度为−15.36m/s．
20.
【解答】
f(x0+(−ℎ))−f(x0)−ℎ=f(x0+(−ℎ))−f(x0)(x0+(−ℎ))−x0，
limℎ→0f(x0+(−ℎ))−f(x0)−ℎ=limℎ→0f(x0+(−ℎ))−f(x0)(x0+(−ℎ))−x0=f′(x0)，
则当ℎ无限趋近于0时，f(x0+(−ℎ))−f(x0)−ℎ无限趋近于f′(x0)，
f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)ℎ=2×f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ，
又由limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)ℎ=2limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ=2f′(x0)，
则当ℎ无限趋近于0时，f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)ℎ无限趋近于2f′(x0)．