2020年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）（强化版）_(带答案解析).docx

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2020年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）（强化版）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上

评卷人
得分



一、 选择题（共12题）
1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|-3＜x＜1}，则A∩B=（　　）
A.{x|-1＜x＜2} B.{-1，0，1} C.{-1，0} D.{0，1}
2. 已知i为虚数单位，则复数（2+i）（1+i）=（　　）
A.1+3i B.3+3i C.2i D.1
3. 已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则该双曲线的实轴长为（　　）
A.2
B.2
C.4
D.4
4. 已知，则=（　　）
A.-2
B.2
C.
D.
5. 已知，则（　　）
A.b＜c＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c
6. 如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法错误的是（　　）

A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差
7. 函数x的部分图象大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
8. 已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（　　）
A.18π B.36π C.27π D.54π
9. 如图，P，Q是函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的图象与x轴的两个相邻交点，M（1，2）是函数f（x）的图象的一个最高点，若△MPQ是等腰直角三角形，则函数f（x）的解析式是（　　）

A.
B.
C.
D.
10. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π=3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“|a-b|≤3”的概率为（　　）
A.
B.
C.
D.
11. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=CD，AB=2BC=4，四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上．若四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（　　）
A.164π B.96π C.84π D.36π
12. 若对任意实数x∈（-∞，1]，恒成立，则a=（　　）
A.
B.0
C.
D.e

评卷人
得分



二、 填空题（共4题）
13. 已知向量=（2，2），=（，m），若⊥，则m=______．
14. 若实数x，y满足约束条件，则z=x-3y的最小值为______．
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（sinB-sinC）+csinC=csinA，且b+c=8，则△ABC的面积的最大值是______．
16. 已知直线l过抛物线C：y2=8x的焦点F，且与抛物线C在第一象限的交点为M，点N在抛物线C的准线l1上，且MN⊥l1．若点M到直线NF的距离是4，则直线l的斜率是______．

评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
17. 在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+1-3an+2an-1=0（n∈N+，且n≥2）．
（1）证明：数列{an+1-an}是等比数列．
（2）求数列{an}的通项公式．
18. 如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD=4，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边．若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2．
（1）证明：AB⊥PA．
（2）若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离．
19. 已知函数f（x）=ax-ex（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）讨论f（x）在（0，+∞）上的零点个数．
20. 某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：

日销售量
40
60
80
100
频数
9
12
6
3

（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．
（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店，假设该4S店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表：

日销售量
50
70
90
110
频数
5
15
8
2

（i）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润；
（ii）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？
21. 已知椭圆的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l经过点P（-2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形AEBF的面积为，求直线l的方程．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C与l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，点P（-2，2），求-的值．
23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x-5|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≤10的解集；
（2）若f（x）≥1．求a的取值范围．

参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】解：∵A={-1，0，1，2，3}，B={x|-3＜x＜1}，
∴A∩B={-1，0}．
故选：C．
进行交集的运算即可．
本题考查了列举法、描述法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2. 【答案】A
【解析】解：原式=2-1+i+2i=1+3i．
故选：A．
利用复数的乘法法则即可得出．
本题考查了复数的乘法法则，属于基础题．
3. 【答案】D
【解析】解：由题意可得，解得a=2，则该双曲线的实轴长为：2a=4．
故选：D．
利用双曲线的渐近线方程以及双曲线方程，求出a即可得到结果．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
4. 【答案】C
【解析】解：∵，
∴．
故选：C．
由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5. 【答案】B
【解析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查了利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题．

解：∵1=log33＜log35＜log39=2，
∴a=log35∈（1,2），
又0＜b=3-0.2＜1，c=31.2＞3，
∴b＜a＜c．
故选：B．

6. 【答案】B
【解析】解：由题意得：
甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，
乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，
故A，C，D正确，B错误．
故选：B．
分别求出甲、乙两厂轮胎宽度的平均数，众数，中位数，极差，由此能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、众数、中位数、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7. 【答案】D
【解析】解：f（x）=cosx=cosx，
则f（-x）=cos（-x）=cosx=-f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当x＞0且x→0，f（x）＞0，排除C，
故选：D．
根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及利用极限思想是解决本题的关键．难度不大．
8. 【答案】A
【解析】解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h．
由题意可得=，2（2r+h）=18，
解得r=h=3，
则该圆柱的侧面积是2πrh=18π．
故选：A．
设圆柱的底面圆的半径为r，高为h．由题意可得=，2（2r+h）=18，解出r、h进而得出．
本题考查了圆柱的侧面积等于表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9. 【答案】B
【解析】解：由题意可得A=2，因为△MPQ是等腰直角三角形，
所以|PQ|=4，所以T=8，则，故．
将M（1，2）代入f（x）的解析式得，解得，
因为，所以，则．
故选：B．
根据最高点求出A的值，然后再结合△MPQ是等腰直角三角形，求出PQ，也就是周期，从而求出ω的值，最后利用“对应思想”求出φ的值．
本题是一个据图求式的问题，要注意φ值的求法，同时要注意和y=Asin（ωx+φ）做好区分．属于中档题．
10. 【答案】B
【解析】解：由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，
则取到数字a，b的情况有：
（4，1），（4，5），（4，9），（4，2），（4，6），（1，5），（1，9），（1，2），
（1，6），（5，9），（5，2），（5，6），（9，2），（9，6），（2，6），共15种，
其中符合条件的有8种，
故事件“|a-b|≤3”的概率．
故选：B．
由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，利用列举法求出取到数字a，b的情况有15种，其中符合条件的有8种，由此能求出事件“|a-b|≤3”的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11. 【答案】D
【解析】解：由题意四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上，可得△ABC和△ACD都是以AC为斜边的直角三角形，
因为AB=2BC=4，所以，
因为AD=CD，所以，
所以四边形ABCD的面积．
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36，
所以AA1=4，所以该四棱柱的外接球的半径，
故该四棱柱的外接球的表面积为4πR2=36π．
故选：D．
四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上，可得△ABC和△ACD都是以AC为斜边的直角三角形，再由题意求出直棱柱的高，再由直棱柱的高，底面外接圆的半径，和外接球的半径之间的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．
本题考查直棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．

12. 【答案】A
【解析】解：，则．
当2a+1≥1，即a≥0时，f'（x）≤0，则f（x）在（-∞，1]单调递减，
故，解得，所以a≥0不符合题意；
当2a+1＜1，即a＜0时，f（x）在（-∞，2a+1）上单调递减，在（2a+1，1]上单调递增，
则f（x）min=f（2a+1）．
因为，所以．
令2a+1=t＜1，不等式可转化为et-t-1≤0，
设g（t）=et-t-1，则g'（t）=et-1，
令g'（t）＜0，得t＜0；令g'（t）＞0，得0＜t＜1，
则g（t）在（-∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
当t=0时，g（t）有最小值0，即g（t）≥0，
因为g（t）≤0，所以g（t）=0，此时2a+1=0，故．
故选：A．
求出．当2a+1≥1，当2a+1＜1，判断函数的单调性求出函数的最值，推出．令2a+1=t＜1，不等式化为et-t-1≤0，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值，然后求解a即可．
本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，构造法的应用，分类讨论思想的应用，属于难题．
二、 填空题
13. 【答案】-1
【解析】解：根据题意，向量=（2，2），=（，m），
若⊥，则•=2+m×2=0，解可得m=-1；
故答案为：-1．
根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若⊥，则•=2+m×2=0，解可得m的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，注意向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．
14. 【答案】-11
【解析】解：由z=x-3y得y=x-，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=x-，
由图象可知当直线y=x-经过点A时，直线y=x-截距最大，
此时z最小，
由，解得A（，）．
将A（，）代入目标函数z=x-3y，
得z=-11．
∴目标函数z=x-3y的最小值是-11．
故答案为：-11．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

15. 【答案】4
【解析】解：因为，
所以，即，
所以，则．
因为b+c=8，所以（当且仅当b=c=4时，等号成立），
故△ABC的面积，
故答案为：4．
先利用正弦定理可得，再利用余弦定理求得cosA=，进而求出sinA=，再利用基本不等式求得bc≤16，从而求出△ABC的面积的最大值．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，以及基本不等式的应用，是中档题．
16. 【答案】
【解析】解：由题意可知F（2，0），设M（x0，y0），则N（-2，y0），直线
NF的方程为y=-（x-2），即y0x+4y-2y0=0，因为点M到直线NF的距离是4，所以，因为点M再抛物线C上，所以y，所以，整理得：
y02（y）=64×48，解得y0=4，所以x0=6，即M（6，4），
故直线l的斜率是．
故答案为：．
先设出点M的坐标，写出直线NF的方程，再利用点线距离求出点M的坐标，从而求出直线l的斜率．
本题主要考查抛物线、点线距离公式、斜率公式等内容，属于基础题．

三、 解答题
17. 【答案】解：（1）因为an+1-3an+2an-1=0⇒an+1-an=2（an-an-1）；
又a1=1，a2=3，∴a2-a1=2≠0；
∴数列{an+1-an}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得an+1-an=2n；
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=
=2n-1； （n≥2），
当n=1时，a1=1适合上式，
故an=2n-1．
【解析】
（1）把已知递推关系式整理即可证明结论；
（2）利用第一问的结论以及叠加法即可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的证明，属于中档题目．
18. 【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，∴AB⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴AB⊥平面PAC，
∵PA⊂平面PAC，∴AB⊥PA；
（2）解：由（1）知，AB⊥AC，PC⊥平面ABC，
由题意可得，PC=2，AC=AB=4，AC⊥AB，
则BC=，PA=．
∵E为棱BC的中点，∴AE=EC=BC=，则PE=．
在△PAE中，AE=，AP=，PE=，
∴AE2+PE2=PA2，即AE⊥PE．
则△PAE的面积S=．
设点B到平面PAE的距离为h，
∵VB-PAE=VP-ABE，
∴，解得h=．
∴点B到平面PAE的距离为．

【解析】
（1）由已知可得AB⊥AC，再由平面与平面垂直的性质可得AB⊥平面PAC，进一步得到AB⊥PA；
（2）由（1）知，AB⊥AC，PC⊥平面ABC，求解三角形证明AE⊥PE．求出△PAE的面积，再由等体积法求点B到平面PAE的距离．
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求空间中点到平面的距离，是中档题．
19. 【答案】解：（1）f′（x）=a-ex，
当a≤0时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，
当a＞0时，当x＜lna时，f′（x）＞0，函数在R上单调递增，当x＞lna时，f′（x）＜0，函数在R上单调递减，
（2）令f（x）=0可得a=，
设g（x）=，x＞0，则，
当x＞1时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
故g（x）≥g（1）=e，
当a＜e时，a=在（0，+∞）上没有零点，即f（x）没有零点；
当a=e时，a=在（0，+∞）上有一个零点，即f（x）有一个零点；
当a＞e时，a=在（0，+∞）上有2个零点，即f（x）有2个零点；
【解析】
（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求；
（2）由f（x）=0分离参数后，构造函数，结合导数分析函数的性质可求．
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及函数零点个数的判断，体现了分类讨论思想的应用．
20. 【答案】解：（1）因为试销期间每个零件的利润为1000-650=350元，
所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，
根据题中数据大于等于70件的频数为6+3=9，
故所求频率为；
（2）（i）该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550=66000元，
当日销售量为50件时，
当日利润为50×1000+0.9×（120-50）×550-66000=18650元；
当日销售量为70件时，
当日利润为70×1000+0.9×（120-70）×550-66000=28750元；
当日销售量为90件时，
当日利润为90×1000+0.9×（120-90）×550-66000=38850元；
当日销售量为110件时，
当日利润为110×1000+0.9×（120-110）×550-66000=48950元．
所以这30天这款零件的总利润为18650×5+28750×15+38850×8+48950×2=93.32万元；
（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600=54000元，
当日销售量为50件时，
当日利润为50×1000+0.9×（90-50）×600-54000=17600元；
当日销售量为70件时，
当日利润为70×1000+0.9×（90-70）×600-54000=26800元；
当日销售量为90件或110件时，
当日利润为90×1000-54000=36000元，
所以这30天这款零件的总利润为17600×5+26800×15+36000×10=85万元，
因为93.32万元＞85万元，所以每天应该批发两大箱．
【解析】
（1）要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于，根据题意，求出大于等于70件的频率即可；
（2）（i）若4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550=66000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润；
（ii）若该4S店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600=54000元，分别求出日销售量为50件，70件，90件，110件的利润，再求出总利润，根据（i）的计算结果，比较判断出最好的方案即可．
本题考查了频数，频率的计算，考查了运算能力和实际运用能力，中档题．
21. 【答案】解：（1）由题意可得，解得，b=2，
故椭圆C的方程为．
（2）直线l经过点P（-2，0），且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，所以直线与x轴不平行，否则构不成四边形AEBF．
设直线l的方程为x=my-2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，整理得（m2+2）y2-4my-4=0，
则，，
从而，故．
直线OM的斜率为，所以直线OM的方程为，即mx+2y=0．
联立，整理得，则．
设点A到直线OM的距离为d，则点B到直线OM的距离也为d，
从而．
因为点A，B在直线OM的两侧，所以（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，
所以|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|，则．
因为，所以，
则四边形AEBF的面积．
因为四边形AEBF的面积为，所以，解得，
故直线l的方程为．
【解析】
（1）由题意可得，求解a，b，然后求解椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为x=my-2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，整理得（m2+2）y2-4my-4=0，利用韦达定理，求出直线OM的方程为，通过联立，整利用弦长公式以及，点A到直线OM的距离为d，则点B到直线OM的距离也为d，通过点A，B在直线OM的两侧，得到（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，然后转化求解三角形的面积，求出m推出直线方程．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想，以及计算能力，是难题．
22. 【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）．转换为直角坐标方程为x2+（y-2）2=9．
直线l的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x-y+4=0．
（2）线l与曲线C交于M，N两点，点P（-2，2），所以直线的参数方程为（t为参数），代入圆的方程为：，
所以，t1t2=-5，
所以．
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23. 【答案】解：（1）当a=3时，f（x）≤10即|x+3|+|x-5|≤10，
等价为或或，
解得5≤x≤6或-3＜x＜5或-4≤x≤-3，
则原不等式的解集为[-4，6]；
（2）f（x）≥1等价为|x+a|+|x-5|≥1恒成立，
由|x+a|+|x-5|≥|x+a+5-x|=|a+5|，当（x+a）（x-5）≤0取得等号，
则|a+5|≥1，解得a≥-4或a≤-6．
则a的取值范围是（-∞，-6]∪[-4，+∞）．
【解析】
（1）f（x）≤10即|x+3|+|x-5|≤10，运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（2）f（x）≥1等价为|x+a|+|x-5|≥1恒成立，由绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，由绝对值不等式的解法可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．