广东省深圳市南山区2020-2021学年下学期九年级第一次模拟考试数学试卷（3.24）（word版，含答案）

南山区2020-2021学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷（3.24）

一．选择题（每题3分，共30分）

1． －2035的绝对值是（　　）

 A．－2035 B．2035 C．±2035 D．

2． 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）

 A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106

3． 下列图形是中心对称图形的有几个？（　　）

 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4． 某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：

表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（　　）

 A．7个，7个 B．7个，6个 C．22个，22个 D．8个，6个

5． 下列运算中，错误的是（　　）

 A．x2·x3＝x6 B．x2＋x2＝2x2 C．(x2)3＝x6 D．(－3x)2＝9x2

6． 下面命题正确的是（　　）

 A．三角形的内心到三个顶点距离相等 B．方程x2＝14x的解为x＝14             

 C．三角形的外角和为360° D．对角线互相垂直的四边形是菱形

7． 如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

 A．m  B．5m

 C．m  D．10m

8． 对于实数a和b，定义一种新运算“”为：ab＝，这里等式右边是实数运算．例如：13＝＝－，则方程x2＝－1的解是（　　）

 A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7

9． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，与y轴交于(0，2)，抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a＋c＝b；②方程ax2＋bx＋c＝0的解为－1和3；③2a＋b＝0；④c－a＞2，其中正确的结论有（　　）

 A．1个

 B．2个

 C．3个

 D．4个

10．如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP·DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④BP2＋DQ2＝PQ2．其中正确的有（　　）

 A．1个

 B．2个

 C．3个

 D．4个

二．填空题（每题3分，共15分）

11．因式分解：4a3－16a2＋16a＝________．

12．端午节是我国传统佳节，小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是________．

13．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物的高度BC约为________米．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE，AF分别是∠ABC，∠ACB平分线，BE，AF交于点O，OM⊥AB，AB＝10，AC＝8，则OM＝________．

15．如图，已知双曲线y＝(x＜0)和y＝(x＞0)，直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝6，BP∶CP＝2∶1，则k的值为________．

三．解答题（共55分）

16．（6分）计算：(π－3020)0－2cos45°－＋|1－|．

17．（6分）先化简，再求值：(－)÷，其中a＝＋2．

18．（8分）为弘扬中华传统文化、某校开展“戏剧进课堂”的活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息．解决下列问题：

（1）此次共调查了________名学生；

（2）扇形统计图中．B类所对应的扇形圆心角的大小为________度；

（3）请通过计算补全条形统计图；

（4）该校共有1560名学生．估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有多少人？

19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．

20．（8分）新型冠状病毒肺炎(COVID－19，简称为新冠肺炎)疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个键子共需120元．

（1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？

（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．

21．（9分）如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．

（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；

（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2，若＝，求tan∠CAF的值．

22．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为C(3，6)，并与y轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与x轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；

（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．选：B．

2．选：A．

3．选：C．

4．选：A．

5．选：A．

6．选：C．

7．选：B．

8．选：B．

9．选：D．

10．【解答】解：∵BM、DN分别是正方形ABCD的两个外角平分线，∴∠ADQ＝∠ABP＝135°，

∴∠BAP＋∠APB＝45°，∵∠PAQ＝45°，∵∠QAD＋∠BAP＝45°，∴∠QAD＝∠APB，故②正确；

∴△ABP∽△QDA，∴＝，∵正方形ABCD边长为2，∴BP•DQ＝AD•AB＝4，故①错误；

∵＝，∴＝，即＝，∵∠PBC＝∠CDQ＝45°，∴△PBC∽△CDQ，

∴∠BCP＝∠DQC，∴∠PCQ＝360°－90°－∠DQC－∠DCQ，

∵∠DQC＋∠DCQ＝180°－∠CDQ＝180°－45°，∴∠PCQ＝135°，故③正确；

如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，连接GP，AB与GP相交于点H，

∴△ADQ≌△ABG，∴∠GAB＝∠QAD，AG＝AQ，BG＝DQ，∠AGB＝∠AQD，

∴∠GAP＝∠GAB＋∠BAP＝QAD＋∠BAP＝∠BAD－∠PAQ＝45°，∴∠GAP＝∠PAQ＝45°，

∵AP＝AP，∴△AGP≌△AQP（SAS），∴GP＝QP，

∵∠PBC＝45°，∠HBC＝90°，∴∠HBP＝45°，

∴∠GBP＝∠GBH＋∠HBP＝∠AGB＋∠GAB＋45°＝∠AQD＋∠QAD＋45°，

∵∠AQD＋∠QAD＝180°－∠ADQ＝180°－135°＝45°，∴∠GBP＝90°，∴△GBP是直角三角形，

∴BP2＋BG2＝GP2，∴BP2＋DQ2＝PQ2，故④正确．

属于其中正确的有②③④，共3个．故选：C．

二．填空题

11．答案为：4a（a－2）2．

12．答案为：．

13．答案为80．

14．【解答】解：过O作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，连接OC，

∵AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴OG＝OH＝OM，

∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，

∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OM＋AC•OG＋BC•OH，

∴×8×6＝＋×8×OG＋，

∴OM＝2，故答案为：2．

15．【解答】解：如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．

∵OA∥BC，∴S△OBC＝S△ABC＝6，

∵PB：PC＝1：2，∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，

∵S△OBE＝12＝6，∴S△PBE＝2，

∵△BEP∽△CFP，∴S△CFP＝2×＝，∴S△OCF＝，∴k＝－3．

故答案为：－3．

三．解答题

16．原式＝－4．

17．原式＝，当a＝＋2，原式＝．

18．（1）150

（2）150°；

（3）60×25%＝15（人），

补全条形统计图如图所示：

（4）1560×＝260（人），

答：该校1560名学生中“很喜欢”的A类的学生有260人．

19．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，

∴四边形AEBD是矩形．

（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，

∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，

∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，

∴EF＝EC＝．

20．（1）设跳绳原来的售价为x元，毽子原来的售价为y元，

依题意得：，解得：．

答：跳绳原来的售价为20元，毽子原来的售价为16元．

（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400－m）个毽子，

依题意得：，解得：300≤m≤310．

设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，则w＝20×0.8m＋16×0.75（400－m）＝4m＋4800，

∵4＞0，∴w随m的增大而增大，

∴当m＝300时，w取最小值，此时400－m＝100．

∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．

21．（1）解：连接BD，如图，

∵DG为切线，∴AD⊥DG，∴∠ADG＝90°，

∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，

而∠GDB＋∠G＝90°，∠ADB＋∠GDB＝90°，

∴∠ADB＝∠G＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝50°；

（2）证明：连接CD，如图，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠ABC＝∠ADC，

∴∠ABE＝∠AEB＝∠ODC＝∠OCD，∴∠BAD＝∠DOC；

（3）∵∠BAD＝∠FOC，∠ABD＝∠OFC，

∴△ABD∽△OFC，∴＝（）2＝4，

∵，设S1＝8x，S2＝9x，则S△ABD＝2S1＝16x，

∴S△OFC＝•16x＝4x，∴S△AOC＝9x－4x＝5x，

∵＝＝＝，∴设OF＝4k，则OA＝5k，

在Rt△OCF中，OC＝5k，CF＝＝3k，

∴tan∠CAF＝＝＝．

22．（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x－3）2＋6，

将B（0，3）代入可得a＝－，∴y＝－x2＋2x＋3；

（2）连接PO，BO＝3，AO＝3，

设P（n，－n2＋2n＋3），∴S△ABP＝S△BOP＋S△AOP－S△ABO，

S△BPO＝n，S△APO＝－n2＋3n＋，S△ABO＝，

∴S△ABP＝S△BOP＋S△AOP－S△ABO＝－n2＋n＝－（n－）2＋，

∴当x＝时，S△ABP的最大值为；

（3）存在，设D点的坐标为（t，－t2＋2t＋3），

过D作对称轴的垂线，垂足为G，

则DG＝t－3，CG＝6－（－t2＋2t＋3）＝t2－2t＋3，

∴∠ACD＝30°，∴2DG＝DC，在Rt△CGD中，CG＝DG，

∴（t－3）＝t2－2t＋3，∴t＝3＋3或t＝3（舍）

∴D（3＋3，－3），∴AG＝3，GD＝3，

连接AD，在Rt△ADG中，∴AD＝＝6，

∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，

∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，

此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，

设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2＝OA2＋QO2＝9＋m2，

∴AQ2＝AC2，∴9＋m2＝36，∴m＝3或m＝－3，

综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，－3）．