数学第九章 三角形综合与测试一课一练

这是一份数学第九章 三角形综合与测试一课一练，共22页。试卷主要包含了如图，图形中的的值是，如图，在ABC中，点D等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，是的中线，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2、如图，，，则的度数是（ ）
A．55°B．35°C．45°D．25°
3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB
4、若一个三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是 ( )
A．4B．5C．8D．11
5、下图中能体现∠1一定大于∠2的是（ ）
A．B．
C．D．
6、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．4，4，8C．3，4.8，7D．3，5，9
7、如图，图形中的的值是（ ）
A．50B．60C．70D．80
8、如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于（ ）
A．105°B．115°C．120°D．135°
9、如图，在ABC中，点D、E分别是AC，AB的中点，且，则（ ）
A．12B．6C．3D．2
10、如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（ ）
A．90°n°B．90°n°C．45°+n°D．180°﹣n°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，已知，，，则______°．
2、已知的三个内角的度数之比：：：：，则 ______ 度， ______ 度．
3、如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，给出下列结论：①是的余角；②图中互余的角共有3对；③的补角只有；④与互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）．
4、如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积______．
5、在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A=_____________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
2、已知：如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5．
（1）直接写出BC的取值范围是 ．
（2）若点D是BC边上的一点，∠BAC＝85°，∠ADC＝140°，∠BAD＝∠B，求∠C．
3、如图所示，在一副三角板ABC和三角板DEC中，，，∠B＝30°，∠DEC＝∠DCE＝45°．
（1）当AB∥DC时，如图①，的度数为 °；
（2）当与重合时，如图②，判断与的位置关系并说明理由；
（3）如图③，当＝ °时，AB∥EC；
（4）当AB∥ED时，如图④、图⑤，分别求出的度数．
4、如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？
5、如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
直接根据三角形中线定义解答即可．
【详解】
解：∵是的中线，，
∴BM= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的中线，熟知三角形的中线是三角形的顶点和它对边中点的连线是解答的关键．
2、D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可．
【详解】
解：设AD与BC相交于O，则∠COD=∠AOB，
∵∠C+∠COD+∠D=180°，∠A+∠AOB=∠B=180°，∠C=∠A=90°，
∴∠D=∠B=25°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．
3、C
【解析】
【分析】
根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．
【详解】
解：A、∵AE＝DE，
∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B、∵BD平分∠EBC，
∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C、∵BD平分∠EBC，
∴∠2＝∠3，
但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D、∵S△AEB＝×AE×BC，S△EDB＝×DE×BC，AE＝DE，
∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．
【详解】
解：∵一个三角形的两边长分别为3和8，
∴5＜第三边长＜11，
则第三边长可能是：8．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．
5、C
【解析】
【分析】
由对顶角的性质可判断A，由平行线的性质可判断B，由三角形的外角的性质可判断C，由直角三角形中同角的余角相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：A、∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2．故此选项不符合题意；
B、如图，
若两线平行，则∠3＝∠2，则
若两线不平行，则大小关系不确定，所以∠1不一定大于∠2．故此选项不符合题意；
C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此选项符合题意；
D、根据同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，直角三角形中两锐角互余，三角形的外角的性质，同角的余角相等，掌握几何基本图形，基本图形的性质是解本题的关键.
6、C
【解析】
【分析】
由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．
【详解】
解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
7、B
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数和进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：
∴，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角的性质，解一元一次方程，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
根据直角三角板各角的度数和三角形外角性质求解即可．
【详解】
解：如图，∠C=90°，∠DAE=45°，∠BAC=60°，
∴∠CAO=∠BAC－∠DAE=60°－45°=15°，
∴=∠C+∠CAO=90°+15°=105°，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角板中的度数计算、三角形的外角性质，熟知三角板各角度数，掌握三角形的外角性质是解答的关键．
9、C
【解析】
【分析】
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD＝S△ABC＝6，然后利用S△BDE＝S△ABD求解．
【详解】
解：∵点D为AC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6，
∵点E为AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝×6＝3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键． 三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．
10、A
【解析】
【分析】
根据BD、CE分别是△ABC的角平分线和三角形的外角，得到，再利用三角形的内角和，得到，代入数据即可求解．
【详解】
解：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴．
故答案选：A．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理和外角的性质．涉及角平分线的性质．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
二、填空题
1、59
2、 60 100
【解析】
【分析】
设一份为，则三个内角的度数分别为，，，再利用内角和定理列方程，再解方程可得答案.
【详解】
解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，
解得．
所以，，即，．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，利用三角形的内角和定理构建方程是解本题的关键.
3、①④##④①
【解析】
【分析】
根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，结合三角形的内角和，然后再根据余角定义和补角定义逐一进行分析即可．
【详解】
解： ，

是的余角；故①符合题意；
，

互为余角，互为余角，
，
互为余角，
所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；

与互补；
∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠1+∠DAE=180°，
∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；
，

所以与互补的角有 共3个，故④符合题意；
所以正确的结论有：①④
故答案为：①④
【点睛】
本题考查的是垂直的定义，互余，互补的含义，三角形的内角和定理，掌握“互为余角的两个角之和为 互为补角是两个角之和为”是解本题的关键.
4、
【解析】
【分析】
根据三角形中线性质，平分三角形面积，先利用AD为△ABC中线可得S△ABD=S△ACD，根据E为AD中点，，根据BF为△BEC中线，即可．
【详解】
解：∵AD为△ABC中线
∴S△ABD=S△ACD，
又∵E为AD中点，
故，
∴，
∵BF为△BEC中线，
∴cm2．
故答案为：1cm2．
【点拨】
本题考查了三角形中线的性质，牢固掌握并会运用是解题关键．
5、40°##40度
【解析】
【分析】
根据已知得出∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，代入∠A+∠B+∠C=180°得出方程∠A+2∠A+∠A+20°=180°，求出即可．
【详解】
解：∵∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，
∴∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°，
∴∠A=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想．
三、解答题
1、见解析
【解析】
【分析】
根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】
解：已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．
∵BE∥AC，
∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
2、（1）2＜BC＜8；（2）25°
【解析】
【分析】
（1）根据三角形三边关系解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∵AC-AB＜BC＜AC+AB，AB＝3，AC＝5．
∴2＜BC＜8，
故答案为：2＜BC＜8
（2）∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝140
∵∠B＝∠BAD
∴∠B＝
∵∠B+∠BAC+∠C＝180
∴∠C＝180﹣∠B﹣∠BAC
即∠C＝180﹣70﹣85＝25
【点睛】
本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B的度数是解此题的关键．
3、（1）30；（2）DE∥AC，理由见解析；（3）15；（4）图④∠DCB=60°；图⑤∠DCB=120°；
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；
（2）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（3）根据AB∥EC，得到∠ECB=∠B=30°，即可得到∠DCB=∠DCE-∠ECB=15°；
（4）如图④所示，，设CD与AB交于F，由平行线的性质可得∠BFC=∠EDC=90°，再由三角形内角和定理∠DCB=180°-∠BFC-∠B=60°；如图⑤所示，延长AC交ED延长线于G，由平行线的性质可得∠G=∠A=60°，再由∠ACB=∠CDE=90°，得到∠BCG=∠CDG=90°，即可求出∠DCG=180°-∠G-∠CDG=30°，则∠BCD=∠BCG+∠DCG=120°．
【详解】
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=30°，
故答案为：30；
（2）DE∥AC，理由如下：
∵∠CBE=∠ACB=90°，
∴DE∥AC；
（3）∵AB∥EC，
∴∠ECB=∠B=30°，
又∵∠DCE=45°，
∴∠DCB=∠DCE-∠ECB=15°，
∴当∠DCB=15°时，AB∥EC，
故答案为：15；
（4）如图④所示，设CD与AB交于F，
∵AB∥ED，
∴∠BFC=∠EDC=90°，
∴∠DCB=180°-∠BFC-∠B=60°；
如图⑤所示，延长AC交ED延长线于G，
∵AB∥DE，
∴∠G=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠BCG=∠CDG=90°，
∴∠DCG=180°-∠G-∠CDG=30°，
∴∠DCB=∠BCG+∠DCG=120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，邻补角互补等等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质与判定条件．
4、90°
【解析】
【分析】
根据题意在图中标注方向角，得到有关角的度数，根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可．
【详解】
解：由题意得，∠DAB＝80°，
∵DA∥EB，
∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°，
∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°，
∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
5、55°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【详解】
解：∵∠ABC=30°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°-30°-80°=70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=×70°=35°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-35°=55°．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．