七年级下册第九章 三角形综合与测试同步达标检测题

冀教版七年级数学下册第九章 三角形定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如果一个三角形的两边长都是6cm，则第三边的长不能是（       ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm

2、人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（       ）

A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性

C．两点确定一条直线 D．垂线段最短

3、如图，已知，，，则的度数为（       ）

A．155° B．125° C．135° D．145°

4、如图，已知为的外角，，，那么的度数是（       ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

5、下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ）

A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7

6、如图， （　　）

A．180° B．360° C．270° D．300°

7、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

8、已知的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（       ）

A．1，2，3 B．3，4，7

C．2，3，4 D．4，5，10

9、如图，在中，，，则外角的度数是（       ）

A．35° B．45° C．80° D．100°

10、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，将绕点B逆时针旋转，得到，若点E恰好落在的延长线上，则__________．

2、如图，在中，D、E分别为AC、BC边上一点，AE与BD交于点F．已知，，且的面积为60平方厘米，则的面积为______平方厘米；如果把“”改为“”其余条件不变，则的面积为______平方厘米（用含n的代数式表示）．

3、不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是_________

4、如图，在中，，，E为BC延长线上一点，与的平分线相交于点D，则∠D的度数为______．

5、在中，，则的取值范围是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知射线是的外角平分线．

（1）如图1，当射线与的延长线能交于一点时，则            （选填“>”“<”或“=”），并说明理由；

（2）如图2，当时，请判断与的数量关系，并证明．

2、如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．

（1）如图（1），若∠DCE＝33°，则∠BCD＝      ，∠ACB＝      ．

（2）如图（1），猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．

（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的数量关系为      ．

3、如图，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形纸板ABC的两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D，E两点．

（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB＝ 度；

（2）如图2，若直角顶点C在∠O的内部，求∠ADO+∠OEB的度数；

（3）如图3，若直角顶点C在∠O的外部，求∠ADO+∠OEB的度数．

4、已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一点，MN⊥BC于N．

(1)如图①，当点M与A重合时，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度数；

(2)如图②，当点M在线段AE上（不与A，E重合），用等式表示∠EMN与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A做MC的垂线，交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．

①依题意补全图形；

②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，则∠AMC＝          °．

（用含α，β，γ的式子表示）

5、如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，这样就可求出第三边长的范围，进而选出答案

【详解】

解：设它的第三条边的长度为xcm，

依题意有 ，

即，

故只有D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

首先要考虑梯子中间设置“拉杆”的原因，是为了让梯子更加稳固，而更加稳固的原因是“拉杆”与梯子两边形成了三角形．

【详解】

人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加梯子的稳定性．

故选：B．

【点睛】

本题考查三角形的稳定性，善于从生活中发现数学原理是解决本题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质得出，再求即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系．

4、B

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质解答即可．

【详解】

解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，

∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，

故选：B．

【点睛】

此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．

5、C

【解析】

【分析】

根据组成三角形的三边关系依次判断即可．

【详解】

A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．

D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

6、A

【解析】

【分析】

利用三角形外角定理及三角形内角和公式求解即可．

【详解】

解：

∵∠7=∠4+∠2，∠6=∠1+∠3，

∴∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4，

∵∠5+∠6+∠7=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．

故选：A．

【点睛】

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

8、C

【解析】

【分析】

三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．

【详解】

解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；

B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；

C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；

D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．

9、C

【解析】

【分析】

根据三角形的外角的性质直接求解即可，．

【详解】

解：∵在中，，，

∴

故选C

【点睛】

本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．

【详解】

解：线段是的高的图是选项．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．

二、填空题

1、85

【解析】

【分析】

利用旋转的性质得出旋转前后对应线段相等、对应角相等即可．

【详解】

解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转95°，

∴∠ABE＝95°，AB＝BE，∠CAB＝∠E，

∵AB＝BE，

∴∠E＝∠BAE，

∴∠BAE＋∠CAB＝∠BAE＋∠E＝180°−∠ABE

＝180°−95°

＝85°，

故答案为：85．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理的应用，熟记旋转的性质是解决问题的关键．

2、     6    

【解析】

【分析】

连接CF，依据AD＝CD，BE＝2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，即可得到S△BCD＝S△ABC＝30，S△ACE＝S△ABC＝20，设S△ADF＝S△CDF＝x，依据S△ACE＝S△FEC+S△AFC，可得，解得x＝6，即可得出△ADF的面积为6平方厘米；当BE＝nCE时，运用同样的方法即可得到△ADF的面积.

【详解】

如图，连接CF，

∵AD＝CD，BE＝2CE，且△ABC的面积为60平方厘米，

∴S△BCD＝S△ABC＝30，S△ACE＝S△ABC＝20，

设S△ADF＝S△CDF＝x，则

S△BFC＝S△BCD﹣S△FDC＝30﹣x，S△FEC＝S△BFC＝（30﹣x）＝，

∵S△ACE＝S△FEC+S△AFC，

∴，

解得x＝6，

即△ADF的面积为6平方厘米；

当BE＝nCE时，S△AEC＝，

设S△AFD＝S△CFD＝x，则

S△BFC＝S△BCD﹣S△FDC＝30﹣x，S△FEC＝S△BFC＝（30﹣x），

∵S△ACE＝S△FEC+S△AFC，

∴，

解得，

即△ADF的面积为平方厘米；

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了三角形的面积的计算，解决问题的关键是作辅助线，根据三角形之间的面积关系得出结论．解题时注意：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

3、5

【解析】

【分析】

根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．

【详解】

解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；

因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，

因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，

因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，

S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，

∴6＞高＞3，

∵是不等边三角形，且高为整数，

∴高的最大值为5，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边．

4、20°##20度

【解析】

【分析】

根据角平分线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算．

【详解】

解：∵与的平分线相交于点D，

∴，

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC，

∴∠D=∠DCE-∠DBC=，

故答案为：20°．

【点睛】

此题考查了三角形的外角性质及角平分线的性质，熟记三角形外角的性质定理是解题的关键．

5、

【解析】

【分析】

由构成三角形的条件计算即可．

【详解】

∵中

∴

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了由构成三角形的条件判断第三条边的取值范围，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

三、解答题

1、（1）>，见解析；（2）∠BAC=∠B，见解析

【解析】

【分析】

（1）延长BA与射线CD交于点F，根据CD平分∠ACE，可得∠ACD=∠ECD，根据三角形外角性质可得∠BAC=∠ECD+∠AFC，∠ECD=∠B+∠AFC，得出∠BAC=∠B+2∠AFC即可；

（2）根据CD∥BA，可得∠BAC=∠ACD，∠B=∠ECD，根据CD平分∠ACE，解得∠ACD=∠ECD即可．

【详解】

解：（1）>

理由：如图，延长BA与射线CD交于点F，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=∠ECD，

∵∠BAC=∠ACD+∠AFC=∠ECD+∠AFC，

∠ECD=∠B+∠AFC，

∴∠BAC=∠B+2∠AFC，

∴∠BAC>∠B；

（2）∠BAC=∠B，

证明：∵CD∥BA，

∴∠BAC=∠ACD，∠B=∠ECD，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=∠ECD，

∴∠BAC=∠B．

【点睛】

本题考查三角形的外角性质，角平分线定义，掌握三角形的外角性质，角平分线定义是解题关键．

2、（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°

【解析】

【分析】

（1）根据角的和差定义计算即可．

（2）利用角的和差定义计算即可．

（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．

【详解】

解：（1）由题意，

；

；

故答案为：57°，147°．      

（2）∠ACB＝180°－∠DCE，    

理由如下：

∵   ∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，

∴   ∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD

＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE

＝180°－∠DCE．      

（3）结论：∠DAB+∠CAE=120°．

理由如下：

∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB，

又∵∠DAC=∠EAB=60°，

∴∠DAB+∠CAE=60°+60°=120°．

故答案为：∠DAB+∠CAE=120°．

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3、（1）120；（2）120°；（3）120°

【解析】

【分析】

（1）由三角形外角性质可知，即可得出，即可求出答案；

（2）连接OC，由三角形外角性质可知，，即可得出， 即得出答案；

（3）连接OC，由三角形外角性质可知，即可得出，即得出答案．

【详解】

解：（1）∵，

∴．

故答案为：120．

（2）如图，连接OC，

∵，，

∴

（3）如图，连接OC

∵

∴

【点睛】

本题主要考查三角形外角的性质，正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．

4、（1）；（2），见解析；（3）①见解析；②

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根据AE平分∠BAC，∠CAE＝∠BAC＝30°，利用三角形内角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN＝10°即可；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)；证法1:如图，作AD⊥BC于D．根据AE平分∠BAC，可得∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．根据，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=(∠C－∠B)．根据AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．证法2:根据 AE平分∠BAC，得出∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，根据三角形内角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)即可；

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D，如图；                                  

②∠AMC＝．过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），根据MC⊥AD，得出∠CFD=∠CNM=90°，可证∠NMC=∠D，

根据两角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B即可

【详解】

解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，

∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．

又∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAC＝30°，

∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，

∴∠CMN＝10°，

∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；

(2)∠EMN＝(∠C－∠B)．                                     …

证法1:如图，作AD⊥BC于D．

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)．

∵，

∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，

∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC

＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．

∵AD⊥BC，MN⊥BC，

∴AD//MN，

∴∠EMN＝∠EAD＝(∠C－∠B)．           

证法2:∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)，

∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－(∠C－∠B)，

∴∠EMN＝90°－∠AEC＝(∠C－∠B)．

(3)①依题意补全图形，当点M在线段AE的延长线上，连接MC，过点A作AD⊥MC交MC的延长线于点F，交BC的延长线上于点D．如图；                                  

②∠AMC＝．

过A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，

∴MN∥AG，

∴∠NME=∠GAE=（∠ACB-∠B），

∵MC⊥AD，

∴∠CFD=∠CNM=90°，

∵∠FCD=∠NCM，

∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，

∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-∠ACB+∠B，

∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，

∴∠AMC=γ°-β°+α°．

【点睛】

本题考查三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，补全图形，垂线定义，掌握三角形内角和，角平分线定义，平行线性质，角的和差，作图语句，垂线定义是解题关键．

5、85°

【解析】

【分析】

根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理得出，代入求出即可．

【详解】

解：平分，，

，

，

．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，解题的关键是注意：三角形的内角和等于．