数学第十七章 勾股定理综合与测试同步达标检测题

第十七章《勾股定理》测试卷

全卷满分：150分；考试时间：100分钟；

一、单选题（每小题4分，共40分）

1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（    ）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6

2．如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于　　

A．13 B． C．5 D．

3．如图，字母B所代表的正方形的面积是　　

A．12 B．144 C．13 D．194

4．下列说法正确的是（    ）

A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2b2c2；

B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2b2c2；

C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2b2c2；

D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2b2c2；

5．满足下列条件的中，不是直角三角形的是　　

A． B．

C． D．

6．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　）

A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺

7．如图图中，不能用来证明勾股定理的是（　　）

A． B． C． D．

8．已知一个直角三角形的两边长分别3和4，则第三边长是(   )

A．5 B． C．25 D．5或

9．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．4．5 D．5

二、填空题（每小题4分，共32分）

11．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足_______时，∠B=90°．

12．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在距离根部处，这棵大树在折断前的高度为__________．

13．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．

14．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．

15．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为____________________．

16．在△中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为______.

17．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．

18．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面规律,第5个勾股数组为　    　. 

三、解答题（共78分）

19．（10分）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？

20．（10分）如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．

21．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为BC的中点，CF=CD，连接AE、AF、EF．试判断△AEF的形状，并说明理由.

22．（12分）细心观察图，认真分析下列各式，然后解答问题.

，；，；，；....

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律.

（2）推算出的长.

（3）求的值.

23．（12分）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

24．（12分）如图(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，则有a2+b2=c2；如图(2)，△ABC为锐角三角形时，小明猜想a2+b2>c2，理由如下：

设CD=x，在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，

在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2，

则b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax，

因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2，

所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.

所以小明的猜想是正确的.

(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系；

(2)证明你猜想的结论是否正确.

25．（12分）一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬．

(1)如果D是棱的中点，蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行，它从A点爬到B点所走的路程为多少？

(2)若蜘蛛还走前面和右面这两个面，你认为“AD-DB"是最短路线吗？如果不是，请求出最短路程，如果是，请说明理由

参考答案

一、选择题

1．C

解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．

2．B

解：

由勾股定理得：22+32=x2.

所以，x=

故选B

3．B

解：如图，

根据勾股定理我们可以得出：

a2+b2＝c2

a2＝25，c2＝169，

b2＝169﹣25＝144，

因此B的面积是144．

故选B．

4．D

解：

A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故错误；

 B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B错误；

 C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也错误；

 D、符合勾股定理，正确．

故答案为：D．

5．D

解：A、∵，∴，

∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

B、由可设，

∵，

∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

C、∵，∴，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，

∴∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

D、由可设，

∵∠A+∠B+∠C=180°，∴=180°，解得：，

∴，所以△ABC不是直角三角形，本选项符合题意．

故选：D．

6．C

解：依题意画出图形，

设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=（x-2）尺，
因为B'E=16尺，所以B'C=8尺
在Rt△AB'C中，82+（x-2）2=x2，
解之得：x=17，
即芦苇长17尺．
故选C．

7．D

解：

A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；

D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．

故选D．

8．D

解：

∵，

∴第三边长是5或．

　故选D．

9．A

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，

则这圈金属丝的周长最小为的长度，

圆柱底面的周长为，圆柱高为，

，，

，

，

这圈金属丝的周长最小为．

故选：．

10．D

解：

设，则．

∵，四边形为矩形，点为的中点．

∴，

在中，由勾股定理得，

即，解得．

故选D．

二、填空题

11．a2+c2= b2

解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．
故答案为：a2+c2=b2．

12．8

解：

由勾股定理知，折断部分为5m,3+5=8m,所以大树高为8m.

13．

解：如图，

∵在中，，

∴ ，

则少走的距离为：，

∵步为米，

∴少走了步．

故答案为：．

14．17

解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，

故答案为：17．

15．

解：

∵圆的半径为，

∴A点表示的数为

故答案为．

16．108

解：

∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，

∵92+122=152，

∴△ABC是直角三角形，

∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12=108

17．a+c

解：

∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE，
在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即，AB2+DE2=AC2，
∵S3=AB2，S4=DE2
∴S3+S4=c
同理S1+S2=a
故可得S1+S2+S3+S4=a+c，
故答案是： a+c．

18．(11,60,61)

解：

由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得

第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；

第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61），

故答案为（11，60，61）．

三、解答题

19．0.8米．

解：在Rt△ABC中，∵AB=2.5米，BC=0.7米，
∴米，
又∵AA′=0.4米，
∴A′C=2.4-0.4=2米，
在Rt△A′B′C中，米，
则BB′=CB′-CB=1.5-0.7=0.8米．
故：梯子底部B外移0.8米．

20．96

解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，

∴AC＝ ＝10，

在△ABC中，

∵AC2+BC2＝102+242＝262＝AB2，

∴△ABC为直角三角形；

∴图形面积为：

21．△AEF是直角三角形，理由见解析.

解：△AEF是直角三角形，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AB=2，点E为BC的中点，CF=CD，

∴AD=AB=2，BE=CE=1，CF =，DF=，

∴由勾股定理得

AE=

AF=，

EF=；

∵AE2+EF2=，AF2= ，

∴AE2+EF2=AF2，

∴△AEF为直角三角形.

22．（1），.（n是正整数）；（2）；（3）

解：

（1），.（n是正整数）

（2）由（1）得，，即OAn2=n，

∴.

（3）.

23．这辆小汽车超速

解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，

在Rt△ACB中， ，

∴小汽车的速度；

∴这辆小汽车超速．

24．(1)a2+b2<c2；(2)证明见解析.

解：

（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；

（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，设CD=x．

在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2．在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2，∴b2﹣x2=c2﹣（a+x）2，∴a2+b2=c2﹣2ax．

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2，∴当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2．

25．（1）5+；（2）不是，6cm

解：(1)从点A爬到点B所走的路程为AD+BD=+=5+．

(2)不是，分三种情况讨论：

①将下面和右面展到一个平面内，AB===2(cm)；

②将前面与右面展到一个平面内，AB===6(cm)；

③将前面与上面展到一个平面内，AB==4(cm)，

∴蜘蛛从A点爬到B点所走的最短路程为6cm.