2020-2021学年第十六章 二次根式综合与测试当堂达标检测题

这是一份2020-2021学年第十六章 二次根式综合与测试当堂达标检测题，共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第17章：勾股定理练习题


一、单选题
1．（2021·云南耿马·）如图，在中，，平分，若，，，则的面积为（       ）

A． B．2 C． D．3
2．（2021·云南德宏·）直角三角形的两边长分别为5和4，则该三角形的第三边长是（       ）
A． B． C．或 D．5
3．（2021·云南保山·）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　）

A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺
4．（2021·云南红河·）如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，且AD=2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF（图中阴影部分）的面积之和等于（       ）

A． B． C． D．
5．（2021·云南昆明·）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为多少尺?（       ）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）

A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺
6．（2021·云南江川·）如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（   ）
                                   
A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG
7．（2021·云南普洱·）如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169
8．（2021·云南官渡·）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（       ）
A．B．C． D．
9．（2021·云南丘北·）下列条件中，使不是直角三角形的是（       ）
A．，， B．
C． D．
10．（2021·云南·祥云县教育体育局教研室）下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．5，6，7 D．1，，3
11．（2021·云南昆明·）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（       ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长分别为1、、2
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
12．（2021·云南呈贡·）如图，在单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（       ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
13．（2021·云南五华·）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　）

A．BC＝ B．AB＝5 C．AC⊥BC于点C D．∠CBA＝60°
二、填空题
14．（2021·云南昭通·）在△ABC中，AC＝5，BC＝，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 __________________．
15．（2021·云南保山·）在直角三角形ABC中，若AB＝8，AC﹣BC＝2，则三角形ABC的面积为 ________．
16．（2021·云南曲靖·）在中，，，点在边上，连接，若，则线段的长为___________．
17．（2021·云南西双版纳·）如图，已知P是平面直角坐标系中的一点，其坐标为(6，8)，则点P到原点的距离是____．

18．（2021·云南五华·）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是___．

19．（2021·云南峨山·）如图4，分别以Rt△ABC的三边为边长，在三角形外作三个正方形，若正方形P的边长等于5，正方形Q的边长等于3，则正方形R的面积是_______．

20．（2021·云南昆明·）如图所示，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形④的面积为______．

21．（2021·云南盘龙·）如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若， ，则_____．

22．（2021·云南砚山·）如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．

23．（2021·云南德宏·）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是__________．
三、解答题
24．（2021·云南砚山·）如图是一块地，已知AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，且CD⊥AD，求这块地的面积．

25．（2021·云南官渡·）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？

26．（2021·云南盘龙·）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．

27．（2021·云南红河·）如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？

28．（2021·云南西双版纳·）如图，在中，，若，，.

（1）求，的长.
（2）判断的形状并说明理由.
29．（2021·云南昆明·）如图，网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的面积；
（2）求的度数．

30．（2021·云南盘龙·）如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接AC，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．

31．（2021·云南官渡·）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？

32．（2021·云南五华·）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度．
（2）深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明．

33．（2021·云南呈贡·）2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图所示：长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：）．其中长方形是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上．这杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度．

34．（2021·云南曲靖·）2021年4月29日，在我国海南文昌航天发射场，长征五号B遥二运载火箭搭载“天和”核心舱发射升空，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，；当火箭到达点时，测得，求火箭从点上升到点的高度．（结果保留根号）

35．（2021·云南德宏·）某初中“数学兴趣小组”开展实践活动，在校园里测量一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度．经测量得知AB＝AD＝60米，∠A＝60°，BC＝80米，∠ABC＝150°．如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出CD的长度．

36．（2021·云南临沧·）如图，在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，发现B在O的南偏东45°的方向上．问：此时快艇航行了多少米（即AB的长）？

37．（2021·云南昭通·）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，求∠ACD的度数．

38．（2021·云南保山·）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，BC＝10，CD＝8，求四边形ABCD的面积．


参考答案：
1．A
【分析】
根据含30度角的直角三角形性质可求出CD=1，过点D作DE⊥AB，证明Rt△ACD≌Rt△AED，得AE=AC=，再证明Rt△BED≌Rt△AED，得BE=AE=，最后利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】
解：∵，，
∴∠BAC=90゜-30゜=60゜
∵平分，
∴∠BAD=∠CAD=
在Rt△ACD中，由AD=2
∴CD=1；
过点D作DE⊥AB，如图，

∵平分，，
∴DE=DC=1
又AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC=
在Rt△ADE和Rt△BDE中

∴Rt△BED≌Rt△AED
∴BE=AE=
∴AB=AE+BE=2
∴
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理、性质是解答此题的关键．
2．C
【分析】
根据勾股定理即可求得第三边的长，分两种情况讨论：①4和5是直角边；②5是斜边，即可求得答案．
【详解】
解：①当4和5都是直角边时，
第三边
②当5是斜边，4是直角边时，
第三边，
所以第三边的长为3或，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
3．D
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，
根据勾股定理得：x2+52=（25-x）2
解得：x=12．
答：原处还有12尺高的竹子．
故选：D．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
4．D
【分析】
由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC=CD=2，进而可求得S△ACD=2，再利用阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积-以AD为直径的半圆的面积计算可求解．
【详解】
解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，AD=2，
∴AC2+DC2=AD2=8，
∴AC=CD=2，
∴S△ACD=AC•DC=2，
∴
=π+2-π
=2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积-以AD为直径的半圆的面积是解题的关键．
5．C
【分析】
竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：1丈=10尺
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
答：折断处离地面的高度是4.55尺，
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
6．C
【分析】
根据全等三角形的判定进行分析即可.
【详解】
设小正方形的边长为1，则AB=3,AC=,BC=,AE=,AF=,DF=3,DG= BC=,GF= AC=,CE=
先从三角形的最长边分析，A. △AEG，B. △ADF，D. △CEG都不可能与△ABC全等；只有C. △DFG符合SSS形式.
故选：C
【点睛】
考核知识点：全等三角形的判定，勾股定理.利用勾股定理求出三角形边长是关键.
7．B
【分析】
两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，利用勾股定理即可求出.
【详解】
两个阴影正方形的面积和为132－ 122＝ 25，所以B选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查了正方形的面积以及勾股定理的应用，推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点.
8．D
【分析】
利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，
利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，
利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，
利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．
9．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答．
【详解】
A、∵，∴是直角三角形；
B、∵，∴是直角三角形；
C、设a=b=2x，c=3x，
∵，，
∴，
∴不是直角三角形；
D、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵，
∴，
解得x=，
∴∠C=3x=，
∴是直角三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握根据边或角判断直角三角形的方法是解题的关键．
10．B
【分析】
将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．
【详解】
A、∵42+52=41；62=36，
∴42+52≠62，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
B、∵32+42=9+16=85；52=25，
∴32+42=52，
则此选项线段长能组成直角三角形；
C、∵52+62=61；72=49，
∴52+62≠72，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
D、∵12+（）2=3；32=9，
∴12+（）2≠32，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
故选B
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
11．D
【分析】
根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐一判定是否为直角三角形即可得答案．
【详解】
A.设三个内角的度数为n，2n，3n
∴n+2n+3n=180，
解得：n=30°，
∴各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；
B.∵12+（）2=22，
∴此三角形是直角三角形，
C.设三条边为3n，4n，5n，
∵(3n)2+(4n)2=(5n)2，
∴此三角形是直角三角形，
D.设三个内角的度数为3n，4n，5n，
∴3n+4n+5n=180°，
解得：n=15°，
∴各角分别为45°，60°，75°，
∴此三角形不是直角三角形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
12．B
【分析】
设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】
解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
13．D
【分析】
利用勾股定理求出三边长，再依据勾股定理逆定理判断出∠ACB＝90°即可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理可得：AB＝，
AC＝，
BC＝，
∵AC2+BC2＝（2）2+（）2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
故A、B、C都正确，不符合题意，
∵AB，BC＝，
∴
∴
∴∠ABC≠60°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和其逆定理，运用勾股定理求出三边长是解题的关键．
14．或
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ACD与直角三角形BCD中，利用勾股定理求出AB的长即可求出△ABC的面积；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理求出AB的长即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：分两种情况考虑：
∵AC＝5，BC＝，AB边上的高CD＝3，
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，

在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD＝＝4；
在Rt△CBD中，根据勾股定理得：DB＝＝5，
∴AB＝AD+BD＝4+5＝9，
∴＝＝；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，

同理可得：AD＝4，DB＝5，
∴AB＝DB﹣AD＝5﹣4＝1，
∴＝＝；
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和三角形面积的运算，利用分类讨论的思想构造等式是解题的关键．
15．15 或 60
【分析】
根据AB＝8为斜边和不为斜边进行分类讨论，由勾股定理建立等式求解．
【详解】
解：根据AB＝8为斜边和不为斜边进行分类讨论，
当AB＝8不为斜边时，如图1所示：

由题意，设，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，
，
当AB＝8为斜边时，如图2所示：
由题意，设，
，
由勾股定理得：，
解得：，（负根舍去）
，
，
综上：三角形ABC的面积为或，
故答案是：或．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形问题，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
16．7或9
【分析】
过点A作AE⊥BC于点E，当点D在点E左边时，由勾股定理可计算得DE=1，则BD=BE－DE=7；当点D在点E右边时，则BD=BE+DE=9，从而问题解决．
【详解】
如图，过点A作AE⊥BC于点E
∵AB=AC=10
∴BE=CE=
在Rt△ABE中，由勾股定理得
当点D在点E左边时
在Rt△ADE中，由勾股定理得
∴BD=BE－DE=8－1=7
当点D在点E右边时，则BD=BE+DE=9
故答案为：7或9．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，关键是等腰三角形的性质．
17．10
【分析】
根据题意和图形，利用勾股定理，可以计算出点P到原点的距离．
【详解】
解：∵P是平面直角坐标系中的一点，其坐标为（6，8），
∴点P到原点的距离是：＝10，
故答案为：10．
【点睛】
此题利用直角坐标系中坐标点考查两点间的距离，涉及勾股定理．
18．4
【分析】
在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC+BC﹣AB可以求解．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
米，
少走的距离为
AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米
答：小明在标牌■填上的数字是4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求AB．
19．16
【分析】
根据正方形的面积为边长的平方可知AB2和BC2的值，再根据勾股定理即可求出R所代表的正方形的边长．
【详解】
解：∵正方形P的边长等于5，正方形Q的边长等于3，∠ACB＝90°，
∴AB2＝52＝25，BC2＝32＝9，
∴AC2＝AB2－BC2＝25−9＝16，
∴字母R所代表的正方形的面积为16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中根据勾股定理求斜边长的平方是解本题的关键．
20．8
【分析】
根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律，第n个正方形的面积是，那么易求第四个正方形的面积．
【详解】
解：第①正方形的面积是64；
利用勾股定理可得：第②正方形的面积+第②′正方形的面积=第①正方形的面积，则第②正方形的面积是32；
利用勾股定理可得：第③正方形的面积+第③′正方形的面积=第②正方形的面积，第③正方形的面积是16；
…
第n个正方形的面积是；
∴第四个正方形的面积是8．
故填：8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
21．8
【分析】
由勾股定理可知：=+代入计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得：=+，
∵=24，=16，
∴24=16+，
∴=24-16=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的知识，熟记勾股定理是解题的关键．
22．
【分析】
少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．
【详解】
解：如图，

∵在中，，
∴ ，
则少走的距离为：，
∵步为米，
∴少走了步．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．
23．
【分析】
首先根据题意画出图像，根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即再用勾股定理求出AC的长，在Rt△ADC中，利用等面积法即可求得DE的长．
【详解】
根据题意，画出图形，如图，

∵AD是的中线，
∴，
在中，
∵，

∴
∴是直角三角形，且
∴
在中，
，
∵，
∴
解得，，
故填：．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是根据题意画出图形，结合勾股定理和勾股定理逆定理进行求解．
24．
【分析】
连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】
解：连接AC，
∵CD⊥AD
∴∠ADC=90°，
∵AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，
∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=
【点睛】
本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25．收购站E应建在离A点10km处．
【分析】
根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据勾股定理即可得出AE＝BC＝10km．
【详解】
解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（25﹣x）．
∵DA=15km，CB=10km，
∴x2+152=（25﹣x）2+102，
解得：x=10，
∴AE=10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
【点睛】
本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可，列出方程是解题关键．
26．（1）见解析；（2）AB＝2AC，理由见解析；（3）
【分析】
（1）求出∠B＝∠ACD，根据三角形的外角性质求出∠CFE＝∠CEF，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）求出∠B＝∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠B＝30°，再求出答案即可；
（3）求出高EM的长，求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，
即∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
即△CEF是等腰三角形；
（2）AB＝2AC，
理由是：∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC；
（3）∵AC＝2.5，
∴AB＝2AC＝5，
由（2）得，∠CAB=60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CEA=30°，设CE为x，则AE为2x,
AC=，
x=，

过E作EM⊥AB于M，
∴EM＝CE＝，
∴△ABE的面积S＝＝5×＝．
【点睛】
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用所学知识，整合已知条件，解决综合问题．
27．梯脚外移0.8米．
【分析】
直角利用勾股定理求出AO，ON的长，再利用NB=ON-OB，即可求出答案．
【详解】
解：由题意得：AB=2.5米，BO=0.7米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
（米）．
∴MO=AO-AM=2.4-0.4=2（米），
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
（米）．
∴NB=ON-OB=1.5-0.7=0.8（米），
∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，正确应用勾股定理是解题的关键．
28．（1）AC=20，BD=9；见解析；（2）是直角三角形，理由见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可直接求出；
（2）由（1）及勾股定理的逆定理可直接判断．
【详解】
解：（1）在中，
∵，
∴
在中，
∵，
∴．
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．

【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
29．（1）；（2）．
【分析】
（1）利用图形的割补法可得四边形的面积等于长方形的面积减去四边形周边的三角形与长方形的面积，从而可得答案；
（2）连，利用勾股定理分别求解，，，证明是直角三角形，从而可得答案.
【详解】
解：（1）
（2）连接，

∵，，
∴
∴是直角三角形，∴
【点睛】
本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用割补法求网格多边形的面积，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键.
30．需要绿化部分的面积为24
【分析】
根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵，
∴在中，， ，
由勾股定理得，
∵在ABC中，， ，
，
，
∴需要绿化部分的面积，
答：需要绿化部分的面积为24．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用、三角形的面积计算，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
31．（1）；（2）△ABC是直角三角形，见解析
【分析】
（1）在小方格中，利用勾股定理可求得AB、AC、BC边长；
（2）判断AB、AC、BC三边是否符合勾股定理逆定理即可．
【详解】
解：（1）依题意
AB=；AC=；BC=；
∴△ABC的周长是=
（2）△ABC是直角三角形.理由如下：
在△ABC中
∵；
∴
∴△ABC是直角三角形
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是求解出三角形三边长．
32．（1）；（2）CD＝AB，证明见解析
【分析】
（1）根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，CA2＝AD2+1，于是AD2＝（AD2+9）﹣（AD2+1）＝8，即可解决问题；
（2）由CA2﹣AB2＝AD2可得：CA2﹣AD2＝AB2，而CA2﹣AD2＝CD2，即可推出CD2＝AB2．
【详解】
解：（1）如图1，根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，AC2＝AD2+1，

∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，
∴AB2﹣CA2＝AD2，
∴AD2＝（AD2+9）﹣（AD2﹣1）＝8，
∴AD＝2；
（2）CD＝AB，
如图2，∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，且AC＞AB，

∴AC2﹣AB2＝AD2，即AC2﹣AD2＝AB2，
∵AC2﹣AD2＝CD2，
∴CD2＝AB2，
即CD＝AB．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33．70cm
【分析】
分析可知：彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长．
【详解】
解：由题意可得：
彩旗这一长方形的对角线即=150，
∴h=220-150=70cm．
【点睛】
本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．
34．火箭从到上升的高度为．
【分析】
先根据含30度角的直角三角形的性质求出km，，然后根据等腰直角三角形的性质得到km，由此求解即可．
【详解】
解：在中，km，，
∴km，
∴km，
∵，，
∴，
∴，
∴km，
∴．
答：火箭从到上升的高度为．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
35．CD的长度为100m
【分析】
直接利用等边三角形的判定与性质得出BD的长，再利用勾股定理得出DC的长．
【详解】
解：连接BD，

∵AB＝AD＝60m，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝60m，且∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，
在Rt△CBD中，∠DBC＝90°，BC＝80m，BD＝60m，
根据勾股定理得：BC2+BD2＝CD2，
即CD＝＝100（m）
答：CD的长度为100m．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，正确得出△BCD是直角三角形是解题关键．
36．快艇航行了（500+500）米．
【分析】
先根据题意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，从而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图：在直角△AOC中，∠AOC＝30°，OA＝1000米，
∴AC＝OA＝500米，
∴米，
∵∠FOB=45°，
∴∠COB=45°，
∴OC=BC=米
∴AB＝500+（米）．
答：快艇航行了（500+）米．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理，方位角，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
37．∠ACD＝90°
【分析】
先判断出△ABC为直角三角形，进而利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
解：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝2，AD＝2，
∴△ABC是直角三角形，
∴
在△ACD中，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
38．
【分析】
连接BD，知道，根据勾股定理求出，再使用勾股定理，最后用即可求解；
【详解】
解：如图 ，连接 BD．



∵ BC = 10 ，CD = 8 ，
∴，
∴△BDC 是直角三角形，且