第7讲 找规律—小升初数学专题讲练（知识点+练习）（通用版，含详解）

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小升初数学精讲精练专题汇编第7讲 找规律知识精讲小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答知识点一：数字中的规律1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律；2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方；重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验知识点二：图形中的规律1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换.....2.可通过观察、分析、猜想等方法探索知识点三：算式中的规律1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果2.可运用计算器计算，发现得数的规律。知识点四：数形结合中的规律1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。知识点五：周期规律1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。知识点六：找规律问题常见策略1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 能力提升一、精挑细选(共6题；每题2分，共12分)1．（2021·富县）正方形纸片按规律拼成如下的图案，第（　　）个图案中恰好有365个纸片。A．73 B．81 C．912．（2021·坡头）如图， ……如果有n个三角形，需要（　　）根小棒。A．3 B．2n+1 C．2n+23．（2020·武昌）下图是按一定规律连续拼摆制作的图案，按此规律N处的图案应是（　　）A． B． C． D．4．（2020六上·天津期末）有一组图，它的排列规律如下图，第7个图形由（　　）个 组成。  A．21 B．25 C．28 D．325．（2020六上·兴义期末）根据下图的规律，可知第⑥个图中有（　　）个。A．21 B．25 C．296．（2021·临西）浩浩按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图；如果按照这个规律继续摆，第五幅图要用（　　）根小棒。A．23 B．31 C．35 D．45二、判断正误(共3题；每题2分，共6分)7．摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒．（判断对错）8． …，第五个点阵中点的个数是1+4×5=21．   9．（2021六上·市中期末）已知 表示65， 表示86，那么 表示58。（　　）三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共12分)10．（2021·合肥）如下图，用黑、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用黑瓷砖。如果所拼的图形中用了 400 块白瓷砖，那么黑瓷砖用了 　     　 块。 11．（2021·城区）（3，-1），（-6， ），（9，- ），（-12， ）…根据这组有序数对的排列规律，可确定第10个有序数对是（　     　，　     　）。12．（2021·坡头）按规律填数。 ， ， ， ， ，　     　。13．（2020六上·椒江期末）将小正方体如下图的方式摆放在桌上，图1露在外面的面有5个，请问：图3露在外面的面有　     　个，n个小正方体按这样的方式摆放，露在外面的面有　     　个。14．（2020六上·唐县期末）按下面的规律用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要　     　根小棒；摆n个正六边形需要　     　根小棒。15．（2021·罗湖）下图是一张月历卡，用形如 的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数。框出的3个数的和最大是　     　，一共可以框出　     　种不同的和。16．（2021六上·澄江期末）已知1+3=22，1+3+5 =32，……，那么1+3+5+7+9+11+13=　     　。17．（2021六上·市中期末）如图，用边长为1cm的等边三角形拼图（如图），第一组有一个边长为1cm等边三角形，第二组有4个边长为1cm等边三角形，第三组有9个边长为1cm等边三角形，第n组图形有　     　边长为1cm等边三角形拼成。四、解答问题(共13题；共70分)  18．（4分）（2020·海安模拟）下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。  19．（12分）（2020·海安）现有若干个圆环，它的外直径是5厘米，环宽是0.5厘米，将它们（如下图）扣在一起，拉紧后测量其长度，请完成表格。圆环个数123456……拉紧后的长度/cm              （1）请完成表格。（2）根据表中规律，11个圆环拉紧后的长度是多少厘米?   （3）设圆环的个数为a，拉紧后的总长度为S，你能用一个关系式表示你发现的规律吗?   （4）若拉紧后的长度是77厘来，则它是由多少个圆环扣成的?             20．（5分）（2019六上·浦口期末）如图，把一个正方体放在地板上，露在外面的面数有5个.不同的摆放，露在外面的面数会一样吗? 把你的发现填写在表格中。摆法一小正方体个数12345...n露在外面的面数5811 　 　... 　摆法二小正方体个数12345...n露在外面的面数5913 　 　... 　   21．（6分）（2018·杭州）农夫将苹果树种在正方形果园里。为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种了一些针叶树。在下图中，你可以看到农夫种植苹果树的列数n和苹果树数量及针叶树数量的规律。（1）请你分别用含有n的式子表示苹果树和针叶树的数量。   （2）当农夫种的苹果树列数为多少时，苹果树的数量会等于针叶树的数量?   22．（4分）（2021六上·兴化期中）将棱长1厘米的正方体按如图方式一层一层堆放起来，请根据规律填写下表。层数123……6表面积/cm2　     　　     　　     　……　     　   23．（6分）（2020六上·亭湖期末）下面每个 都是棱长为1厘米的正方体，一个接一个排成一行，请回答题后问题：（1）（5分）请算出表中各图形的表面积，并填在表中。个数 　 　 　……图形……表面积cm² 　 　 　……（2）当正方体的个数是n个时，所拼成的长方体的表面积是　     　平方厘米。   24．（8分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）（4分）第8个图形中有多少颗黑色棋子？（2）（4分）第几个图形中有303颗黑色棋子? 25．（2021·泗洪）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片　     　张；（2）第n个图案中有白色纸片　         　张。  26．（2020六上·瑞安期末）在正方形中按规律依次增加点的数量，如图所示：（1）第6个图案中有　     　个小圆点。（2）第n个图案中有　                 　个小圆点。   27．（5分）观察下面的图形，按规律在“？”处填上合适的图形．       28．（5分）一张桌子坐8人，两张桌子并起来坐12人，三张桌子并起来坐16人…，照这样，如果要坐75人，最少要并多少张桌子？  29．（7分）找规律，填空。（1）2，3，5，8，13，　     　，34，　     　，　     　。（2） ， ， ， ，　     　， ，　     　。（3）接着画。　     　　     　30．（4分）（2020·海安）如图所示，用“十字形”分割正方形，分割1次，分成了4个正方形；分割2次分成了7个正方形；分割3次分成了10个正方形……以此类推，请填写下表。（1）分割次数12345…正方形总个数4710　     　　     　…（2）如果连续用“十字形”分割18次，则可以分成　     　个正方形。（3）如果分割了286个正方形，共用“十字形”分割了　     　次。       答案解析1．【答案】C【完整解答】解：（365-1）÷4=91个，所以第91个图案中恰好有365个纸片。
故答案为：C。
【思路引导】第1个图案中有纸片的个数：5=1+4×1；
第2个图案中有纸片的个数：9=1+4×2；
第3个图案中有纸片的个数：13=1+4×3；
……
第n个图案中有纸片的个数：4n+1。2．【答案】B【完整解答】解：1个三角形，需要小棒的根数=3=2×1+1；
2个三角形，需要木棒的根数=3+2=2×2+1；
3个三角形，需要小棒的根数=3+2+2=2×3+1；
……
n个三角形，需要小棒的根数=2×n+1=2n+1。
故答案为：B。【思路引导】1个三角形，需要小棒的根数是3；2个三角形，需要小棒的根数是5；3个三角形，需要小棒的根数是7，所以多一个三角形，则多2根小棒，……进而可得出n个三角形需要小棒的根数=2×n+1，据此可得出答案。3．【答案】B【完整解答】第一、三、五行都是按照空白正方形在小长方形的左上角、右下角、左上角、右下角、左上角进行有规律的排列，所以N处的图案空白部分应该在长方形的左上角。
故答案为：B。【思路引导】要先找到图案的规律，才能正确的选择答案，当连续的每一行没有明显规律时，可以将奇数行和偶数行分开来找规律。4．【答案】C【完整解答】解：第7个图形由1+2+3+4+5+6+7=7×8÷2=28个 组成。
故答案为：C。
【思路引导】从图中可以看出，第n个图形中的个数=1+2+3+……+n=n×（n+1）÷2。5．【答案】A【完整解答】解：1+（6-1）×4=21，所以第⑥个图中有21个●。
故答案为：A。
【思路引导】从图中可以看出第n个图形中有●的个数=1+（n-1）×4，据此作答即可。6．【答案】B【完整解答】解：15+16=31（根）
故答案为：B。【思路引导】观察可知，需要小棒的根数依次比前一个图形需要的小棒根数多2、4、8，因此第五幅图需要的根数比第四幅图多16根。7．【答案】（1）正【完整解答】解：摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒(4+3)根，即7根；摆三个正方形要小棒(4+3×2)根，即10根，…，所以摆n个正方形要小棒：4+3×(n﹣1)=3n+1(根)；n=10，3×10+1=31(根)；摆10个正方形一共需要31根小棒．原题说法正确．故答案为：正确【思路引导】规律：小棒的根数=小正方形的个数×3+1，根据这样的规律计算后做出判断即可.8．【答案】（1）错误【完整解答】解：根据题干分析可得：第n点阵的点数=1+（n﹣1）×4，  n=5时，点数个数为：1+（5﹣1）×4=17．所以原题说法错误．故答案为：错误．【思路引导】根据题干，第一个点阵有1个点，第二个点阵上下左右各增加了一个点即有：1+1×4个点，第三个点阵上下左右各增加了2个点即有：1+2×2个点由此可得：第n点阵的点数=1+（n﹣1）×4，由此规律即可解决判断．抓住题干，从特殊的例子推理得出一般的结论，由此即可解决此类问题．9．【答案】（1）错误【完整解答】解：已知  表示65，  表示86，那么  表示85。原题说法错误。
故答案为：错误。【思路引导】根据第一个和第二个图形可知，圆表示6，三角形表示5，正方形表示8，且十位数字表示外面的图形，个位数字表示里面的图形。由此按照这样的规律确定最后一个图形表示的数即可。10．【答案】84【完整解答】解：400=20×20
（20+1）×4=84（块）
故答案为：84。
【思路引导】由三幅图可以得到这样一个规律“白瓷砖的块数是每个边上块数的平方”；黑瓷砖的总数量是白瓷砖一边的数量加1的四倍，由此即可解答。11．【答案】-30；【完整解答】解：第10个有序数对是（-30，）。
故答案为：-30；。【思路引导】观察已知数对中的数字，第一个数字依次是3、-6、9、-12，所以第10个数对中第一个数字一定是负数，数字是3+3×9=30，这个数是-30；第二个数字依次是-1、、-、，所以第10个数对中的第二个数一定是正数，且分子是1，分母是10。12．【答案】【完整解答】解：，，，，，。
故答案为：。【思路引导】观察这组数，可得出从第三个分数开始，分数的分子等于前两个分数的分子之和；分数的分母是（n+1）2，据此即可得出答案。13．【答案】11；3n+2【完整解答】解：3×3+2=11个，所以图3露在外面的面有11个，n个小正方体按这样的方式摆放，露在外面的面有3n+2个。
故答案为：11；3n+2。【思路引导】1个小正方体按这样的方式摆放，露在外面的面的个数：5=3×1+2；
2个小正方体按这样的方式摆放，露在外面的面的个数：8=3×2+2；
3个小正方体按这样的方式摆放，露在外面的面的个数：11=3×3+2；
……
n个小正方体按这样的方式摆放，露在外面的面的个数：3n+2。14．【答案】21；5n+1【完整解答】解：摆4个正六边形需要4×5+1=21根小棒；摆n个正六边形需要5n+1根小棒。
故答案为：21；5n+1。
【思路引导】摆1个正六边形需要小棒的根数：6=1×5+1；
摆1个正六边形需要小棒的根数：11=2×5+1；
摆1个正六边形需要小棒的根数：16=3×5+1；
……
摆n个正六边形需要小棒的根数：5n+1。15．【答案】84；20【完整解答】解：第一问：27+28+29=84；
第二问：5×4=20（种）。
故答案为：84；20。
【思路引导】第一问：要使框出的和最大，那么这三个数分别是27、28、29；
第二问：第一行框出的数有：2、3、4；3、4、5；4、5、6；5、6、7；6、7、8；共5种，共有4行数，因此共可以框出20种不同的和。16．【答案】72【完整解答】解：已知1+3=22，1+3+5 =32，……那么1+3+5+7+9+11+13=72。
故答案为：72。【思路引导】从1开始的连续奇数的和，等于奇数个数的平方，按照这样的规律计算即可。17．【答案】n2【完整解答】解：根据规律可知，第n组图形有n2个边长为1cm的等边三角形拼成。
故答案为：n2。【思路引导】第一组有1个，第二组有4个，第三组有9个，……，规律：边长为1cm的等边三角形的个数=图形的组数×图形的组数，根据规律表示n组图形中边长为1cm的等边三角形的个数即可。18．【答案】解：据图可得△=1,；
据图和可得○=2；
据图可得：□=3；
故答案为：；。【思路引导】根据图形和数字的排列规律可发现，△=1，○=2，□=3，十位上的数代表的图形在外，个位上的数代表的图形在内，据此推理即可。19．【完整解答】（3）设由n个圆环扣成的，则
1＋4n=77
4n=77-1
4n=76
n=76÷4
n=19
答：它是由19个圆环扣成的。
【思路引导】根据题意可知n个圆环拉紧的长度可以用S=1＋4n表示，据此解答即可。20．【答案】摆法一： 小正方体个数12345...n露在外面的面数58111417...3n+2 摆法二： 小正方体个数12345...n露在外面的面数59131721...4n+1【思路引导】摆法一：观察表格中的数值可得增加1个小正方体，露在外面的面数增加3面，即可得出露在外面的面的面数=3×小正方体的个数+2；
摆法二：观察表格中的数值可得增加1个小正方体，露在外面的面数增加4面，即可得出露在外面的面的面数=4×小正方体的个数+1。21．【答案】（1）解：苹果树棵数：n2；针叶树棵数：8n  （2）解：n2=8n n=8即当农夫种的苹果树列数为8时，苹果树的数量会等于针叶树的数量。【思路引导】（1）观察图形可以发现，苹果树的数量为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，用n表示出来即可；
（2）找出规律之后列出等式，解出方程即可。22．【答案】6；18；36；126【完整解答】解：层数123……6表面积/cm261836……126故答案为：6；18；36；126。
【思路引导】图形有1层时，表面积：6=1×6；
图形有2层时，表面积：18=（1+2）×6；
图形有3层时，表面积：36=（1+2+3）×6；
……
图形有n层时，表面积：（1+2+3+……+n）×6。23．【答案】（1）解：       个数 　 　 　……图形……表面积cm²61014……（2）4n+2【完整解答】解：（1）1×1=1（平方厘米）
1×6=6（平方厘米）
2×4＋2
=8＋2
=10（平方厘米）
3×4＋2
=12＋2
=14（平方厘米）个数 　 　 　……图形      ……表面积cm²61014……（2）当正方体的个数是n个时，所拼成的长方体的表面积是（4n＋2） 平方厘米。
故答案为：（2）（4n＋2）。
【思路引导】（1）正方体每个面的面积=棱长×棱长；1个正方体的表面积是：2＋1×4（平方厘米）；2个正方体的表面积是：2＋2×4；3个正方体的表面积是：2＋3×4；（2）当正方体的个数是n个时，所拼成的长方体的表面积是（4n＋2） 平方厘米。24．【答案】（1）解：8×3+3
=24+3
=27（颗）
答：第8个图形中有27颗黑色棋子。（2）解：（303-3）÷3
=300÷3
=100（颗）
答：第100个图形中有303颗黑色棋子。【思路引导】第1图形有黑色棋子的颗数：6=1×3+3；
第2图形有黑色棋子的颗数：9=2×3+3；
第3图形有黑色棋子的颗数：12=3×3+3；
第4图形有黑色棋子的颗数：15=4×3+3；
……
第n图形有黑色棋子的颗数：n×3+3。25．【答案】（1）13（2）（3n+1）【完整解答】解：（1）1+4×3=13（张）；
（2）第n个图案中有白色纸片（3n+1）张。
故答案为：（1）13；（2）（3n+1）。【思路引导】（1）规律：白色纸片的张数=图形个数×3+1，根据规律计算即可；（2）用含有字母的式子表示这个规律即可。26．【答案】（1）21（2）1+4（n-1）或4n-3【完整解答】解：（1）4×6-3
=24-3
=21（个）
（2）第n个图案中有（ 4n-3 ）个小圆点。
故答案为：（1）21；（2）（ 4n-3 ）。【思路引导】第n个图案中有（ 4n-3 ）个小圆点；据此可以计算出任何一个图案中小圆点的个数。27．【答案】解：察下面的图形可知，按规律在“？”处填上7个三角形．  如图： 【思路引导】观察图形可知：第一个图形是1个，第二个图形是3个，第三个图形是5个，第四个图形就是7个，第五个图形就是9个，它们的规律是连续加2；据此即可解答问题；解决此类问题的关键是：根据题干中的图形找出事物排列的一般规律，从而即可解答．  28．【答案】解：根据分析可得，  桌子数：（75﹣4）÷4=71÷4=17（张）…3（人）．17=1=18（张）答：最少要并18张桌子．【思路引导】每增加一张桌子，增加4个人，因为：8=4+1×4，12=4+2×4，16=4+3×4，…，所以可得规律：总人数=4+桌子数×4，据此解答．本题关键是找到人数与桌子数的通项公式：总人数=4+桌子数×4．  29．【答案】（1）21；55；89（2）；（3）；【完整解答】解：（1）2，3，5，8，13，21，34，55，89；
（2），，，，，，；
（3）。
故答案为：（1）21；55；89；（2）；；（3）；。【思路引导】（1）从已给的数据可以得出，每个数等于与它相邻的前两个数的和；
（2）从已给的数据可以得出，每个分数的分子都比前一个分数的分子大1，每个分数的分母=（分子+1）2；
（3）从已给的图形可以得出，图形是顺时针旋转的。30．【答案】（1）13；16（2）55（3）95【完整解答】解：分割1次，得到4个正方形，可以写成：（1＋1×3）个；
分割2次，得到4个正方形，可以写成：（1＋2×3）个······由此可得每分割一次增加3个正方形，那么分割n次，就得到（1＋3n）个正方形。
（1）1＋3×4
=1＋12
=13（个）
1＋3×5
=1＋15
=16（个）
（2）1＋3×18
=1＋54
=55（个）
（3）（286-1）÷3
=285÷3
=95（次）
故答案为：（1）13；16；（2)55；（3）95。
【思路引导】根据题意可知每分割一次增加3个正方形，那么分割n次，就得到（1＋3n）个正方形，据此列式计算即可。