高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素教案

11.1.2　构成空间几何体的基本元素

情境导学

1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系

(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．

[拓展]

1．立体几何中的平面是从实际生活中抽象出来的，它具有无限延展性，是理想的、处处平直的，是不可度量的，它没有厚度，没有大小，也没有面积、体积、质量等，不能说两个平面重叠在一起就变厚了．而立体几何中的曲面就不是处处平直的．

2．立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的．平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的．而通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的．

2．构成空间几何体的基本元素

点、线、面是构成空间几何体的基本元素．

3．点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法

(1)直线在平面内的概念

如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.

(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系

4.空间两条直线的位置关系

5.直线与平面的位置关系

6.两个平面的位置关系

7.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．

(2)点到平面的距离：由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．

(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．  (　　)

(2)直线的移动只能形成平面． (　　)

(3)平静的太平洋就是一个平面． (　　)

[提示]　(1)正确．

(2)直线移动可能形成曲面，故错误．

(3)平面是没有大小的，故错误．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．下列关于长方体的叙述不正确的是(　　)

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B．长方体中相对的面都相互平行

C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D．两底面之间的棱互相平行且等长

A　[A中只有移动相同距离才能形成长方体．]

3．(一题多空)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则直线BC到面A1B1C1D1的距离为______；直线BC1到面ADD1A1的距离为________；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为________．

5　4　3　[直线BC到面A1B1C1D1的距离为BB1＝AA1＝5；

直线BC1到面ADD1A1的距离为AB＝4；

面ABB1A1到面DCC1D1的距离为BC＝3.]

4．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．

(1)EF与BB1垂直；(2)EF与BD垂直；(3)EF与CD异面；(4)EF与A1C1异面．

(4)　[连接A1B(图略)，∵E，F分别是AB1，BC1的中点，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．]

合作探究

【例1】　(1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为(　　)

A．P∈a，a⊂α　 B．P⊂a，a⊂α

C．P⊂a，a∈α   D．P∈a，a∈α

(2)用符号表示下列语句，并画出图形．

①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B．

②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．

[思路探究]　直线和平面看作点的集合⇒类比元素与集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示．

(1)A　[由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为a⊂α，故A正确．]

(2)解：①用符号表示：

α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．

②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．

提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别．

1．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：

(1)点C与平面β：________.

(2)点A与平面α：________.

(3)直线AB与平面α：____________.

(4)直线CD与平面α：__________.

(5)平面α与平面β：__________.

[答案]　(1)C∉β　(2)A∉α　(3)AB∩α＝B　(4)CD⊂α　(5)α∩β＝BD

【例2】　如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．

①　　　　　　②　　　　③

[思路探究]　线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．

[解]

①　　　　②　　　　③

用运动观点认识几何体

(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．

(2)在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．

[探究问题]

1．射线运动后的轨迹是什么？

[提示]　 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．

2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．

[提示]　面可以列举如下：

平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；

线可以列举如下：

直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；

点可以列举如下：点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；

它们共同组成了课桌这个几何体．

【例3】　在长方体ABCD­A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，

(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？

(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？

[思路探究]　观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．

[解]　(1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.

(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.

1．平行关系的判定

(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．

(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．

(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．

2．垂直关系的判定

(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．

(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．

【例4】　已知棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点C到平面BDD1B1的距离为(　　)

A．1    B．

C．2   D．2

B　[如图，连接AC交BD于点O，AC⊥平面BDD1B1，

∴CO即为点C到平面BDD1B1的距离．又CO＝AC＝·＝，∴点C到平面BDD1B1的距离为.]

求点面距、线面距、面面距的方法

(1)点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距．

(2)线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取．

2．(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为(　　)

A．4    B．2

C．2   D．

(2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA1＝4，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________．

(1)C　(2)2　[(1)如图，MN∥平面BCC1B1，

∴MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2，

∴MN与平面BCC1B1的距离为2.

(2)平面ABCD与平面EFGH的距离为AA1＝×4＝2.]

课堂小结

知识：

1．根据点、线、面之间的语言描述能够正确的使用符号语言表示它们之间的位置关系．

2．在空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

方法：

判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法．

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　)

A．8条　　   B．6条　　　　C．4条　　　　D．2条

C　[正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．]

2．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是(　　)

C　[选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C．]

3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)

A．异面或平行    B．异面或相交

C．异面   D．相交、平行或异面

D　[可参考长方体中各条线的位置关系判断．]

4．(一题两空)线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′.

(1)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为______cm；

(2)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.

(1)4　(2)5　[如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，

∴平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.]

5．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析．

[解]　这两个平面平行(如图①)或相交(如图②)．