2021学年10.1.2 复数的几何意义教案及反思

10.1.2　复数的几何意义

情境导学

1．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．

在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，x轴称为实轴，y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，因此称y轴为虚轴．

x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.

2．复数的几何意义

平面直角坐标系中的点Z(a，b)唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向量，则

(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数z＝a＋bi 平面向量.

3．复数的模、共轭复数

(1)复数的模

设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.

(2)共轭复数

①如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示．

②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．

[拓展]

在复平面内，共轭复数表示的两个点关于实轴对称．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　)

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　)

(3)复数的模一定是正实数． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

C　[z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．]

3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)

A．1或3  B．1  C．3  D．2

A　[依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.]

4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．

5　[∵z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，∴

∴z＝－4＋3i，

∴|z|＝＝5.]

合作探究

【例1】　(1)复数z＝－1＋2i所对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

(2)复数＝1＋i和z＝1－i在复平面内的对应点关于(　　)

A．实轴对称

B．一、三象限的角平分线对称

C．虚轴对称

D．二、四象限的角平分线对称

(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3,1)    B．(－1,3)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－3)

(1)B　(2)A　(3)A　[(1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B．

(2)复数＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)．

复数z＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)．

点Z1与Z2关于实轴对称，故选A．

(3)z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，所以解得－3＜m＜1.故选A．]

解答复数与复平面内点的关系问题的一般思路

(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．

(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．

1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．

分别求实数m的取值范围．

[解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.

(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.

(2)由题意得∴

∴－1＜m＜1.

(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.

综上所述，(1)当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上；

(2)当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限；

(3)当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上．

【例2】　在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C，求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．

[思路探究]　思路一：→→→→

[解]　法一：由已知得A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，

则AC的中点E，

由平行四边形的性质知E也是BD的中点，

设D(x，y)，

则∴

即D(3,3)，

∴D点对应复数为3＋3i.

法二：由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)，

∴＝(－1,1)，＝(3,2)，

∴＝＋＝(2,3)，

∴＝＋＝(3,3)，

即点D对应复数为3＋3i.

复数几何意义包含的两种情况

(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．

(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．

2．(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i   B．8＋2i  C．2＋4i   D．4＋i

(2)设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　)

A．－1＋i   B．1－i  C．－5－5i   D．5＋5i

(1)C　(2)D　[(1)由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C．

(2)由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)，

∴＝－＝(5,5)，

∴对应的复数为5＋5i，故选D．]

[探究问题]

1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i?

[提示]　复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.

2．若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？

[提示]　a满足即－1＜a＜1.

【例3】　(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是(　　)

A．－   B．i  C．±i   D．±

(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－9＋i的模，并比较它们模的大小．

[思路探究]　(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．

(2)用求模的公式直接计算．

(1)D　[设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D．]

(2)[解]　因为z1＝6＋8i，z2＝－9＋i，

所以|z1|＝＝10，

|z2|＝＝.

因为10＞，

所以|z1|>|z2|.

复数的模的计算问题

(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．

(2)两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

3．(1)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的集合构成的图形是(　　)

A．1个圆   B．线段  C．2个点   D．2个圆

(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

(1)A　[由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

即|z|＝3或|z|＝－1.

∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．]

(2)[解]　∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝，

由已知得<4，

∴a2<7，

∴a∈(－， )．

课堂小结

知识：

1．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．

2．复数的模

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.

(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．

(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．

方法：

如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则

(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；

当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；

当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；

当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．

(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；

当b＝0时，点Z在实轴上；

当a＝b＝0时，点Z为原点．

(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；

当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．

(4)当a＞0时，点Z位于虚轴右边的半平面内；

当a＜0时，点Z位于虚轴左边的半平面内．

1．已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是(　　)

A．关于x轴对称    B．关于y轴对称

C．关于原点对称   D．关于直线y＝x对称

B　[在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．]

2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为(　　)

A．(1，i)   B．(1，－i)  C．(1,1)   D．(1，－1)

D　[复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．]

3．(一题两空)已知复数z＝3＋2i，则＝______________；

|z|＝____________.

3－2i　　[∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝.]

4．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是________．

(－1,1)　[|z1|＝，|z2|＝＝，

又因为|z1|＜|z2|，所以＜，解得－1＜a＜1.]

5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：

(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．

[解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．

(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．

(2)当实数x满足

即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．

(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，

即3x＋6＝0，x＝－2时，

点Z位于直线x－y－3＝0上．