2021学年11.4.1 直线与平面垂直教学设计及反思

11.4　空间中的垂直关系

11.4.1　直线与平面垂直

情境导学

1．直线与直线所成角

一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．

规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.

思考1：空间中两直线所成角θ的范围是什么？

[提示]　0°≤θ≤90°.

2．直线与平面垂直的定义

3.直线与平面垂直的判定定理

思考2：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？

[提示]　相交或平行或直线在平面内．

4．直线与平面垂直的性质定理

[拓展]　

直线与平面垂直的其他性质和结论

(1)一条直线与一个平面垂直，这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．

(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．

(5)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直．

(6)如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面．

5．直线与平面所成的角

(1)斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA．

(2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A．

(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.

(4)直线与平面所成的角：

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．

②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

(5)取值范围：0°≤θ≤90°.

6．空间中的距离

空间中点面距离、线面距离、面面距离的关系：

注：教材例4的结论称为三垂线定理，这是证明线线异面垂直的重要方法，除此之外有逆定理可证线线的相交垂直．

[拓展]

三垂线逆定理

如果一个平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (　　)

(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行． (　　)

(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． (　　)

[提示]　由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行   B．相交  C．异面  D．垂直

A　[由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．]

3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°    B．45°

C．30°   D．120°

A　[由题意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，

BO＝AB，所以∠ABO＝60°.]

4．如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．

垂直　[因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又PB＝PD，

所以PO⊥BD．所以PO⊥平面ABCD．]

合作探究

【例1】　(1)下列说法中正确的个数是(　　)

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0    B．1

C．2   D．3

(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为(　　)

A．30°    B．45°

C．60°   D．90°

(3)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为(　　)

A．30°    B．45°

C．60°   D．135°

(1)D　(2)C　(3)B　[(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．

(2)因为A1B∥D1C，所以异面直线A1B与AD1所成的角为

∠AD1C，

因为△AD1C为等边三角形，

所以∠AD1C＝60°.

(3)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中∠BC1B1＝45°.]

1．理解线面垂直判定定理要注意的两个问题

(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．

(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的．

2．求异面直线所成角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．

3．求斜线与平面所成角的步骤

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

(1)下列说法中错误的个数是(　　)

①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；

②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；

③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；

④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．

A．0　　   B．1　　　　C．2　　　　D．3

(2)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

(1)C　　(2)45°　[(1)①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；

②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．

(2)因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.]

【例2】　如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.

(1)求证：PC⊥平面AEF；

(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．

[思路探究]　PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC，利用直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．

[证明]　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC．

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，

所以AE⊥BC．

又AE⊥PB，PB∩BC＝B，

所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以AE⊥PC．

又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，

所以PC⊥平面AEF.

(2)由(1)知PC⊥平面AEF，

所以PC⊥AG，

同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，

所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，

所以AG⊥平面PCD，

因为PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD．

证明线面垂直的方法

(1)线线垂直证明线面垂直

①定义法(不常用)．

②判定定理最常用(有时作辅助线)．

(2)平行转化法(利用推论)

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α.

②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

[探究问题]

将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．

1．折痕AD与桌面一定垂直吗？

[提示]　不一定．

2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？

[提示]　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．

【例3】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.

[思路探究]　两直线垂直于同一平面⇒两直线平行.

[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.

因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

平行关系与垂直关系之间的相互转化

课堂小结

知识：

重视线线垂直和线面垂直的互相转化

在解决直线与平面垂直问题的过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

方法：

1．直线和平面垂直的判定方法

(1)利用线面垂直的定义．

(2)利用线面垂直的判定定理．

(3)利用下面两个结论．

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α.②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2．研究两条异面直线所成角的几种常用方法

(1)过一条直线上的点，作另一条直线的平行线．

(2)当异面直线依附于某几何体，且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行线有困难时，可利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移，使它们相交于该特殊点．

(3)通过构造辅助平面、辅助几何体(补形平移法——利用已知的图形，补作一个特殊的几何体，以便找到平行线)来平移直线．

3．求线面角的常用方法

(1)直接法(一作(或找)二证三计算)．

(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．

1．下列条件中，能使直线m⊥α的是(　　)

A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α  

B．m⊥b，b∥α

C．m∩b＝A，b⊥α 

D．m∥b，b⊥α

D　[对于A，缺b与c相交；对于B，还可能得出m∥α，m与α相交或m⊂α；对于C，可能有m∥α或m⊂α或m与α相交．]

2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)

A．相交    B．平行

C．异面   D．相交或平行

B　[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]

3．(一题两空)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．

45°　0°　[∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，

即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]

4．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.

[证明]　如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，

即△PEC是等腰三角形．

又F是PC的中点，

∴EF⊥PC．

又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，

∴BF⊥PC．又BF∩EF＝F，

∴PC⊥平面BEF.