高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理教学设计及反思

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情境导学

关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁­图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．
思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？
1．三角形的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha＝eq \f(1,2)b·hb＝eq \f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B.
(3)S＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
2．正弦定理
3．解三角形
(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．
(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．
思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．
[拓展]
1．正弦定理的常用变形式
在△ABC中，若内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R.则
(1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(3)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；(证明见类型4[探究问题])
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转化)
(5)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).(可以实现角到边的转化)
2．三角形中边角的不等关系
(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；
(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于钝角三角形．( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．( )
[提示] (1)×.正弦定理适用于任意三角形．
(2)√.由正弦定理知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即bsin A＝asin B.
[答案] (1)× (2)√
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
B [因为A，C是△ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D．1
B [由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可得，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9)，故选B.]
4．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，则B的大小为___________．
eq \f(π,4) [由正弦定理知eq \f(sin A,sin A)＝eq \f(cs B,sin B)，
∴sin B＝cs B，又∵B∈(0，π)，∴B＝eq \f(π,4).]
合作探究
【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值；
(2)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b.
[解] (1)根据三角形内角和定理，得
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(18sin 60°,sin 45°)＝9eq \r(6).
(2)法一：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6).
法二：设△ABC外接圆的直径为2R，
则2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(10,sin 30°)＝20.
易知B＝180°－(A＋C)＝105°，
∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10eq \r(2)，
b＝2Rsin B＝20×sin 105°
＝20×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6).
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解．
eq \([跟进训练])
1．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得c＝a·eq \f(sin C,sin A)＝5×eq \f(sin 105°,sin 30°)＝5×eq \f(sin 60°＋45°,sin 30°)
＝5×eq \f(sin 60°cs 45°＋cs 60°sin 45°,sin 30°)
＝eq \f(5,2)(eq \r(6)＋eq \r(2))．
【例2】 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°；
(2)a＝1，b＝eq \r(3)，B＝120°.
[解] (1)根据正弦定理，sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3)sin 30°,1)＝eq \f(\r(3),2).
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝2；
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.
(2)根据正弦定理，sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(sin 120°,\r(3))＝eq \f(1,2).
因为B＝120°，所以A＝30°，则C＝30°，c＝a＝1
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，分别求解即可．
(2)根据三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
eq \([跟进训练])
2．已知△ABC分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝2，c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)；
(2)a＝2，c＝eq \r(6)，A＝eq \f(π,4).
[解] (1)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(\r(2),2).
∵c>a，∴C>A.∴A＝eq \f(π,4).
∴B＝eq \f(5π,12)，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)×sin \f(5π,12),sin\f(π,3))＝eq \r(3)＋1.
(2)∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
又∵a