人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线教学设计

11.3　空间中的平行关系

11.3.1　平行直线与异面直线

情境导学

1．平行直线

(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)平行线的传递性

文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．

符号表述：⇒b∥c.

2．等角定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？

[提示]　相等或互补．

3．异面直线的判定

与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．

4．空间四边形

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线． (　　)

(2)若a与b异面，b与c异面，则a与c异面． (　　)

(3)若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°    B．30°或150°

C．150°   D．以上结论都不对

B　[因为AB∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR与∠ABC相等或互补．

因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]

3．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线(　　)

A．12对    B．18对

C．24对   D．36对

B　[由基本事实易知共有18对．]

4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．

相交　[直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]

合作探究

【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[(1)在正方体AC1中，因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．

(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，B∉B1C，又A1∉平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．

(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．

(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]

判定两条直线是异面直线的方法

(1)证明两条直线既不平行又不相交．

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．

1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交  C．异面  D．相交或异面

D　[画出图形，得到结论．

(1)　　　(2)

如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D．]

【例2】　在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．

[证明]　因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，

所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，

又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．

因为G，H分别为AD′，BC′的中点，

所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．

证明两条直线平行的三种方法

(1)一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．

(2)二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质．

(3)三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．

求证：四边形MNA′C′是梯形．

[证明]　如图，连接AC，

因为M，N为CD，AD的中点，

所以MNAC，

由正方体性质可知，ACA′C′，

所以MNA′C′，

所以四边形MNA′C′是梯形．

【例3】　在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．

求证：(1)EFE1F1.

(2)∠EA1F＝∠E1CF1.

[证明]　(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EFBD，同理E1F1B1D1，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BDB1D1，所以EFE1F1.

(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，

所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.

求证角相等的方法

一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

3．已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，证明：∠BEC＝∠B1E1C1.

[证明]　如图，连接EE1，因为E，E1分别为AD，A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形．所以A1AE1E.

又因为A1AB1B，所以E1EB1B．因为四边形E1EBB1是平行四边形．所以E1B1∥EB．同理，E1C1∥EC．又∠BEC与∠B1E1C1的方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.

课堂小结

知识：

1．空间平行线的传递性主要用于证明线线平行，只要找到一条直线与两条直线都平行，就可以证明这两条直线互相平行，除了空间平行线的传递性，利用平面几何知识也可以证明线线平行．

2．利用空间等角定理证明两角相等的步骤

(1)证明两个角的两边分别对应平行；

(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．

3．判定或证明两条直线异面的思路

(1)既不平行也不相交的两条直线为异面直线．

(2)与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．

(3)反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而证明原结论是正确的．

方法：

判断空间中两条直线位置关系的诀窍

(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．

(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．

1．如图所示，在三棱锥S­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)

A．平行    B．相交

C．异面   D．平行或异面

A　[∵E，F分别是SN和SP的中点，

∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，

∴EF∥HG.]

2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是(　　)

A．正方形    B．菱形

C．矩形   D．空间四边形

B　[设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.

135°　[由等角定理可知β＝135°.]

4．已知棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1.

[证明]　如图，连接AC，

在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，

所以MN是△ACD的中位线，

所以MN∥AC，MN＝AC．

由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，

所以MN∥A1C1，

又因为ND∥A1D1，

所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.