人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积教学设计

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积

情境导学

1．祖暅原理

(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．

(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．

2．柱体、锥体、台体和球的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．               (　　)

(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．  (　　)

(3)由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　)

A．15π　　　　 B．30

C．12π   D．36π

C　[圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.]

3．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积(　　)

A．缩小为原来的    B．缩小为原来的

C．扩大为原来的2倍   D．不变

A　[设圆锥的高为h，底面半径为r，

则圆锥的体积V＝πr2×h，

当圆锥的高扩大为原来的3倍，

底面半径缩短为原来的时，

圆锥的体积V′＝π××3h

＝×.

所以圆锥的体积缩小为原来的.故选A．]

4．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3.

288π　[由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)．]

合作探究

【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．

[解]　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，

V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，

V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，

∴此几何体的体积：

V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．

柱体体积问题的处理方法

求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．

1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．

[解]　设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，

则有

由①得r＝a，

由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，

∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.

【例2】　如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

[思路探究]　 ―→―→

―→―→

[解]　设棱台的高为h，S△ABC＝S，∵AB∶A1B1＝1∶2，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB­A1B1C＝V台­VA1­ABC­VC­A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，

∴三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积比为1∶2∶4.

割补法与等积法求锥体体积

三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．

2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D­ACD1的体积是(　　)

A．    B．

C．   D．1

A　[三棱锥D­ACD1的体积VD­ACD1＝VD1­ACD＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]

【例3】　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．

[思路探究]　可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积．

[解]　如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．

由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，

在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，

OE＝AB＝10，

∴O1O＝＝12，

V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)

＝2 800 (cm3)．

故正四棱台的体积为2 800 cm3.

求台体体积的技巧

求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．

【例4】　过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．

[思路探究]　解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截面圆半径和球心距构成的直角三角形．

[解]　如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.

∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，

∴O′为正三角形ABC的中心，

∴AO′＝AB＝ (cm)．

设OA＝R，则OO′＝R，

∵OO′⊥截面ABC，

∴OO′⊥AO′，

∴AO′＝R＝ (cm)，∴R＝2(cm)，

∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．

即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2.

计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R，一般题目不直接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意挖掘隐含条件.

3．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.

4　[设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.

则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，

即2r＝8，

所以r＝4 cm.]

课堂小结

知识：

1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明

(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．

(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．

2．球的截面问题的解题技巧

(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.

方法：

不规则几何体的体积问题的求解策略：若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式．

1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　)

A．π    B．π

C．π   D．π

D　[因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D．]

2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)

A．π   B．2π  C．4π  D．8π

B　[设轴截面正方形的边长为a，

由题意知S侧＝πa·a＝πa2.∴4π＝πa2，a＝2.

∴V圆柱＝π××a＝2π.]

3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为(　　)

A．1∶3∶4    B．1∶3∶2

C．1∶2∶4   D．1∶4∶2

B　[设球的半径为R，则V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝∶2∶＝1∶3∶2.]

4．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP，若三棱锥P­EBD的体积为V1，三棱锥P­ABD的体积为V2，则的值为________．

　[设四棱锥P­ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，

则V2＝VP­ABD＝×Sh＝Sh.

因为CE＝2EP，所以EP＝PC，

所以V1＝VP­EBD＝VE­PBD＝VC­PBD＝VP­BCD＝×Sh＝Sh，所以＝＝.]

5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．

[解]　如图所示，正三棱锥S­ABC．

设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC．

∵△ABC是边长为6的正三角形，

∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.

在△ABC中，

S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.

在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，

∴SH＝＝＝.

∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.