人教B版 (2019)必修 第四册11.3.3 平面与平面平行教案

11.3.3　平面与平面平行

情境导学

1．两个平面的位置关系

思考：如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？

[提示]　如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．

2．平面与平面平行的判定定理与推论

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

3．平面与平面平行的性质定理

推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

[拓展]

两平面平行还有以下性质

(1)证明线面平行的常用方法：α∥β，a⊂β⇒a∥α.

(2)夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等．

(3)经过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行．

(4)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)没有公共点的两平面平行． (　　)

(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．  (　　)

(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行． (　　)

[提示]　(1)由平面与平面平行的定义知正确．

(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．

(3)两平面可能相交．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是(　　)

A．平面AA1D1D　　　    B．平面AA1B1B

C．平面DD1C1C   D．平面ABCD

A　[根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D．]

3．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

B．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

A　[如图，正方体EFGH­E1F1G1H1，EE1∥GG1，EE1＝GG1，

所以四边形EE1G1G是平行四边形，E1G1∥EG，

因为E1G1⊄平面EGH1，

EG⊂平面EGH1，所以E1G1∥平面EGH1，

同理G1F∥平面EGH1.

因为E1G1∩G1F＝G1，E1G1，G1F⊂平面E1FG1，

所以平面E1FG1∥平面EGH1.故选A．]

4．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

①②　[对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD­A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．]

合作探究

【例1】　已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的是________．(将你认为正确的序号都填上)

③④　[①错．a与b也可能异面；

②错．a与b也可能平行；

③对．因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为a⊂α，b⊂β，

所以a与b无公共点；

④对．由已知及③知：a与b无公共点，

那么a∥b或a与b异面；

⑤错．a与β也可能平行．]

两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．

1．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交　　　C．异面　　D．平行或相交

A　[如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，

因为a∥β，所以a∥c，又a⊂α，c⊄α，所以c∥α，

因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，c⊂β，b⊂β，所以α∥β.]

【例2】　已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证：平面BCE∥平面ADF.

[思路探究]　由四边形ABCD是正方形，证得BC∥平面ADF，由四边形ABEF为菱形，证得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE∥平面ADF.

[证明]　因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD．

因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，

所以BC∥平面ADF.

因为四边形ABEF是菱形，

所以BE∥AF.

因为BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，

所以BE∥平面ADF.

因为BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，

所以平面BCE∥平面ADF.

常见面面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理法：转化为线面平行．

(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行．

(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论．

2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．

[证明]　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

所以MQ∥AD，NQ∥BP.

又因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

所以NQ∥平面PBC．

因为四边形ABCD为平行四边形．

所以BC∥AD，所以MQ∥BC．

又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

所以MQ∥平面PBC．

又因为MQ∩NQ＝Q，

所以平面MNQ∥平面PBC．

[探究问题]

1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？

[提示]　如图，连接SB，

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB．

又∵SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1.

∴直线EG∥平面BDD1B1.

2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.

[提示]　连接SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD．

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

又EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

【例3】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.

[思路探究]　面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．

　[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝.所以BD＝.]

1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．

[解]　与本例同理，可证AB∥CD．

所以＝，即＝，所以BD＝24.

2．将本例改为：如图所示，平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.

已知AB＝6，＝，求AC．

[解]　由题图可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15.

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

课堂小结

知识：

1．平面与平面平行的判定定理的理解

(1)平面α内两条相交直线l，m，即l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅.

(2)两条相交直线l，m都与平面β平行，即l∥β，m∥β.

这两个条件缺一不可．

2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

方法：

在证明直线与平面平行时，若不易证明，可先证明该直线所在的一个平面与要证平面平行，然后利用两平面平行的定义得出直线与平面平行，这种方法可称为“要证线面平行，先证面面平行”．图形中没有现成平面可用时，要参考已知条件作出辅助平面，作辅助线(面)的口诀是：“见中点，连中点，找出平行线”．

1．下列说法中正确的个数为(　　)

①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．

A．0　   B．1 　　　C．2　　　D．3

B　[一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，这两个平面可能相交，可能平行，①说法错误；一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，这两个平面可能相交，可能平行，②说法错误；易知③说法正确．]

2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(　　)

A．若α与β相交，a⊂α，b⊂β，则a与b一定相交

B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

D　[A错误，a与b可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]

3．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．

平行　[由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC．又因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC．]

4．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点．求证：平面ACG∥平面BEF.

[证明]　如图所示，连接BD交AC于点O，连接OG，

易知O是BD的中点，故OG∥BE.

又BE⊂平面BEF，OG⊄平面BEF，所以OG∥平面BEF.

因为EF∥AC，AC⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以AC∥平面BEF.

又AC与OG相交于点O，所以平面ACG∥平面BEF.