高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.2 独立性检验教学设计及反思

4.3.2　独立性检验

情境导学

1．2×2列联表

(1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式．

因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．

(2)χ2计算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

2．独立性检验

任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．  (　　)

(2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．  (　　)

(3)应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．  (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　)

A．χ2＝2.700　　 B．χ2＝2.710

C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014

D　[∵5.014>3.841，故D正确．]

3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系．

5%　[查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系．]

4．(一题两空)下面是2×2列联表．

则表中a＝________，b＝________.

52　54　[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.]

合作探究

【例1】　在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.

[思路点拨]　独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．

[解]　假设感冒与是否使用该种血清没有关系．

由列联表中的数据，求得

χ2＝≈7.075.

χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，

故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．

独立性检验的具体做法

1．根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k.

2．利用公式χ2＝计算随机变量χ2.

3．如果χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．

1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：

根据以上数据，能否有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关？

[解]　由公式得χ2＝≈9.638.

∵9.638>6.635，

∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．

[探究问题]

1．利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？

[提示]　利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．

2．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P(χ2≥6.635)＝0.01和P(χ2≥7.879)＝0.005，哪种说法是正确的？

[提示]　两种说法均正确．P(χ2≥6.635)＝0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．

【例2】　为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：

已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.

(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．

[思路点拨]　(1)由古典概型的概率求得2×2列联表．

(2)计算χ2，判断P(x2＞3.841)＝0.05是否成立．

(3)结合超几何分布求解．

[解]　(1)列联表补充如下：

(2)由χ2＝≈4.286.

因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．

(3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.

其概率分别为

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

故X的分布列为

X的均值为E(X)＝0＋＋＝1.

1．检验两个变量是否相互独立，主要依据是计算χ2的值，再利用该值与分位数k进行比较作出判断．

2．χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．

3．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．

2．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：

现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．

(1)试分析估计两个班级的优秀率；

(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？

参考公式及数据：χ2＝.

[解]　(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，

甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，

乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，

所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.

(2)

因为χ2＝≈1.010<3.841，

所以由参考数据知，没有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助．

课堂小结

1．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，该公式较准确的刻画了两个变量相关性的可靠程度．

2．χ2越大说明“两个变量之间有关系”的可能性越大，反之越小．

1．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变量χ2的值(　　)

A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大

B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小

C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大

D．与“A与B有关系”成立的可能性无关

A　[用独立性检验来考查两个分类是否有关系时，算出的随机变量χ2的值越大，说明“A与B有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确．故选A.]

2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

经计算得

χ2＝≈7.8.

则正确结论是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C　[根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.]

3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，认为“两个变量有关系”犯错误的概率不超过________．

0.001　[如果χ2>10.828时，认为“两变量有关系”犯错误的概率不超过0.001.]

4．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是______________________________．

男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数　[由研究的问题可知，需收集的数据应为男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．]

5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据．

(1)计算a，b，c的值；

(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？

[解]　(1)由478＋a＝490，得a＝12.

由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.

由b＋c＝913，得b＝913－36＝877.

(2) χ2＝≈6.233>3.841，

因为P(χ2≥3.841)＝0.05，

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．