高中人教B版 (2019)第五章 数列5.4 数列的应用教学设计

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5.4　数列的应用学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解分期付款的两种计算方式．(重点)2.掌握政府支出的“乘数”效应的相关知识．(重点)3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题．(难点、易错点)1.通过分期付款及政府支出的“乘数”效应的学习，培养逻辑推理的素养.2.借助数列的递推关系解决数列问题，形成数学建模的素养.情境导学我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活，在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段，为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？分期还款与数列(1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．(2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．每期还款金额＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等差数列． (　　)(2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成一个等比数列． (　　)(3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数”效应． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√2．某件产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是(　　)A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3C.   D.C　[设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝.]3．(一题两空)(教材P43例1改编)自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约________元．(1.0510≈1.628 89)29 000　25 901　[如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000元．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)．]4．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金________万元．(1.37－1)　[设第n年投入资金为an万元，由题意可知an＋1＝an(1＋30%)＝1.3an.∴{an}为首项a1＝500，公比为1.3的等比数列，∴S7＝＝(1.37－1)．]合作探究 等差、等比数列模型的应用【例1】　一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．[解]　(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2)＝－n2＋16n.当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64.即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．(2)不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列，则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75.所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．解决数列应用题的思路和方法(1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞清是求an还是求Sn.(2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来．(3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．1．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为(　　)A．46  B．12  C．11  D．2B　[根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，设5人得到的面包数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且d>0，又由面包总数为120，且较多的三份之和的是较少的两份之和，则有 ，解得a＝24，d＝6，则a－2d＝12.即最少的一份面包个数为12，故选B.]2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为(　　)A．9  B．10  C．19  D．29B　[∵把200根相同的钢管堆放成一个正三角形垛， ∴正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，∴正三角形垛所需钢管总数为Sn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，令Sn＝<200，解得n＝19是使得不等式成立的最大整数，此时Sn取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．故选B.]分期付款中的数列问题【例2】　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)[解]　根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝≈42.65(万)，而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元，那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝＝32.50(万元)，贷款的本利和为：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)．所以，甲方案的获利较多．1．解决数列的实际应用问题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，转化为数学问题解决．2．价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模，从而归纳转化为数列问题去解决．3．王某2019年12月31日向银行贷款100 000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清(2029年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元．(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；(2)求每年的还款额(精确到1元)．[解]　(1)a2＝100 000×(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110 250－2.05m.(2)a10＝100 000×(1.05)10－m×(1.05)9－m×(1.05)8－…－m＝0,100 000×1.0510－＝0，解得m＝≈12 950.复杂的数列建模问题[探究问题]1．斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…存在怎样的递推关系？[提示]　An＝An－1＋An－2(n>2且n∈N＋)，A1＝A2＝1.2．某企业投资1千万用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业竞争激烈，每年底需要从利润中拿出资金200万做科研，方能保持原有的利润增长率．试建立第n年资金an与第n－1年资金an－1间的递推关系．[提示]　an＝an－1(1＋25%)－200.【例3】　已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2 000.(1)请用an，bn表示an＋1与bn＋1；(2)证明：数列{an－2 000}是常数列．[解]　(1)由题意知：an＋1＝an＋bn，bn＋1＝an＋bn.(2)证明：∵an＋1＝an＋bn，且an＋bn＝3 000，∴an＋1＝an＋(3 000－an)，∴an＋1＝an＋1 200，∴an＋1－2 000＝(an－2 000)，又∵a1－2 000＝0，∴数列{an－2 000}是常数列. 求解此类问题的关键是依据题设条件，巧借an及an－1即抓住数列前后两项几项的数量关系，建立递推关系an＝pan－1＋q，在此基础上借助数列知识给予解答，常用的方法便是待定系数法和构造等比数列法.4．某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；(2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？[解]　(1)由题意，得b1＝＝0.65 g/ml，a1＝＝1.55 g/ml.当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，∴an－bn＝(an－1－bn－1)，∴等比数列{an－bn}的公比为，其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，∴an－bn＝0.9·.(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·<10－2，∴n>1＋≈7.49，∴至少要操作8次才能达到要求.课堂小结1．本节课的重点是应用数列知识解决实际问题，难点是如何化实际问题为数学问题，转化的关键是明确题设信息，利用递推关系式方程思想建立等量关系．2．明确分期付款中的两种常见方式：等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型．3．以数列知识为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地解决此类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系．1．有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍，已知最上面一层点了3盏，则共点盏数为(　　)A．192  B．381  C．189  D．63B　[根据题意，设每层点的灯数组成数列{an}，分析可得{an}是公比为2的等比数列，且a1＝3，则S7＝＝＝381，故选B.]2．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为(　　)A．20×(1.01)5万 B．20×(1.01)4万C．20×万 D．20×万A　[某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)，2年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)2，3年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)3，4年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)4，5年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)5＝20×(1.01)5.故选A.]3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的，则经过________年，剩余下的物质是原来的.3　[经过一年，剩留物质为原来的，经过二年，剩留物质为原来的()2，经过三年，剩留物质为原来的()3＝，则经过3年，剩余下的物质是原来的.]4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为________尺．4．5　[设数列为{an}，公差为d，a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，S9＝9a1＋36d＝85.5，解得a1＝13.5，d＝－1，∴立夏日影长为a10＝4.5. ]5．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为多少．[解]　根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)15，……孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)，可以看成是以a(1＋r)为首项，(1＋r)为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋……＋a(1＋r)＝＝[(1＋r)18－(1＋r)]．