数学选择性必修 第三册5.3.1 等比数列第2课时教案

第2课时　等比数列的性质

情境导学

1．等比中项

思考：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？

[提示]　不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立．

2．等比数列的性质

在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq.

(1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a.

(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….

拓展：(1)“子数列”性质

对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.

(2)两个等比数列合成数列的性质

若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任意两个实数都有等比中项． (　　)

(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10. (　　)

(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列． (　　)

(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)

A．±  B．－  C.  D．±

C　[在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.]

3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　)

A．4  B．8  C．16  D．32

C　[∵{an}是等比数列，

∴a2·a6＝a＝16.]

4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________.

25　[∵{an}是等比数列，

∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，

∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]

合作探究

【例1】　(1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)

A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9

(2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.

(1)B　(2)　[(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号．

所以ac＝b2＝9.

(2)由题意知a3是a1和a9的等比中项，

∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，

∴＝＝.]

由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列⇔G2＝abab≠0.

1．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．

[解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，

∵

∴

∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．

上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝.

∴a1＝＝＝96.

若G是a5，a7的等比中项，则应有

G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10

＝962·10＝9.

∴a5，a7的等比中项是±3.

【例2】　(1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________.

(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．

(1)6　(2)64　[(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，

∴a＋2a3a5＋a＝36，

∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.

(2)设a1＝2，a5＝8，

∴a3＝＝4，

∴a2·a3·a4＝a·a3＝a＝43＝64.]

在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.

2．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.

[解]　因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.

联立可解得或

当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；

当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.

即a1＋a10的值为－7.

[探究问题]

1．类比等差数列中相邻三项的设法，想一想：等比数列中的相邻三项如何设运算更方便？

[提示]　可设为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．

2．如果四个数成等比数列，如何设更方便运算？

[提示]　可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)．

【例3】　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

[解]　法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，

由条件得解得或

所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；

当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，

由条件得解得或

当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；

当a＝3，q＝时，

所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个数是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.

3．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．

[解]　设三个数依次为，a，aq，

∵·a·aq＝512，∴a＝8.

∵＋(aq－2)＝2a，

∴2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝，

∴这三个数为4,8,16或16,8,4.

课堂小结

1．在数列{an}中，a＝an－k·an＋k(n，k∈N＋，n>k)是{an}成等比数列的必要不充分条件．

2．等比数列的常用性质：

(1)如果m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；

(2)如果m＋n＝2k，am·an＝a；

(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；

(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；

(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；

(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….

3．根据等比中项和等比数列的性质巧设等比数列中的项：

当三个数成等比数列且知这三个数的积时，一般将这三个数设为，a，aq；当有五个数成等比数列时，常设为，，a，aq，aq2.

1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)

A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列

D　[因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．]

2．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为(　　)

A．±4  B．4  C．±  D.

A　[a4＝a1q3＝×23＝1，

a8＝a1q7＝×27＝16，

∴a4与a8的等比中项为±＝±4.]

3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.

7　　[∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41.

又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49.

∵数列{an}各项都是正数，∴a4＋a8＝7.]

4．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．

[解]　在等比数列{an}中，

∵a1·a9＝a3·a7，

∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.

联立得或

∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.

∴取a3＝4，a7＝16，

∴16＝4q4，∴q4＝4.

∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.