高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦学案及答案，共8页。

[课程目标] 1.掌握两角和与差的余弦公式，会利用公式进行三角函数式的化简和求值．
2．掌握常用角的变换，会利用公式进行化简和求值．
[填一填]
1．两角和与差的余弦公式
cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ，(Cα＋β)
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ.(Cα－β)
2．两角差的余弦公式推导
推导：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，如图所示，则P(csα，sinα)，Q(csβ，sinβ)，|eq \(OP,\s\up15(→))|＝|eq \(OQ,\s\up15(→))|＝1，
则α－β＝±〈eq \(OP,\s\up15(→))，eq \(OQ,\s\up15(→))〉＋2kπ(k∈Z)．
∵eq \(OP,\s\up15(→))·eq \(OQ,\s\up15(→))＝(csα，sinα)·(csβ，sinβ)＝csαcsβ＋sinαsinβ.
又eq \(OP,\s\up15(→))·eq \(OQ,\s\up15(→))＝|eq \(OP,\s\up15(→))||eq \(OQ,\s\up15(→))|cs〈eq \(OP,\s\up15(→))，eq \(OQ,\s\up15(→))〉＝cs(α－β)，
∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ. (1)
在公式(1)中用－β代替β则有
cs[α－(－β)]＝cs(α＋β)
＝csαcs(－β)＋sinαsin(－β)
＝csαcsβ－sinαsinβ，
即cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ.
[答一答]
1．怎样理解两角和与差的余弦公式？
提示：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征为：
公式的左侧为α，β的差(和)角的余弦，右侧为α，β的余弦之积与正弦之积的和(差)简记为“余余正正符号异”．
(2)公式中的α、 β为任意角，即对任意的角α、 β，公式均成立．
(3)诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．两角中若有eq \f(π,2)的整数倍的角，使用诱导公式会简化运算，不需要再用两角和与差的三角函数公式展开来计算．
(4)和(差)角的余弦公式不能按照分配律展开，即cs(α＋β)≠csα＋csβ，cs(α－β)≠csα－csβ.
(5)注意公式的逆用，变形应用是灵活使用公式的前提，如csαcsβ＋sinαsinβ＝cs(α－β)，(csα＋csβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2＋2cs(α－β)，cs(α＋β)cs(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cs2α等应用时需灵活掌握．
(6)利用公式可以将非特殊角的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值．利用公式可化简三角函数式，证明三角函数式，已知三角函数值求角等．
2．常见的角的变换有哪些形式？
提示：在解决求值一类问题时，常常需要用到将非特殊角转化为特殊角以及角的拆拼、变换等技巧，使已知角与所求角之间具有某种关系：如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝(α＋eq \f(π,4))－eq \f(π,4)＝…，α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]＝eq \f(1,2)[(β＋α)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等，掌握此类技巧可以减少运算量，提高解题速度与准确性．
类型一 公式的简单应用
[例1] (1)求cs75°的值；
(2)求证：eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝csθ－sinθ.
[分析] 正用公式，尝试从等式的左边推导出等式的右边．
[解] (1)cs75°＝cs(45°＋30°)
＝cs45°cs30°－sin45°sin30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
(2)证明：eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)csθ－sin\f(π,4)sinθ))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csθ－\f(\r(2),2)sinθ))＝csθ－sinθ.
∴原等式成立．
1.正用Cα±β公式解题时，关键要记清公式的结构特征，尤其是中间的符号，以免出错.
2.熟记特殊角的三角函数值，是解决本章求值问题的必要基石.
[变式训练1] 已知sinx＝eq \f(3,5)，x∈(0，π)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
解：∵sinx＝eq \f(3,5)，x∈(0，π)，
∴当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，csx＝eq \r(1－sin2x)＝eq \f(4,5).
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，csx＝－eq \r(1－sin2x)＝－eq \f(4,5).
∴当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝csxcseq \f(π,3)－sinxsineq \f(π,3)
＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4－3\r(3),10)；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝csxcseq \f(π,3)－sinxsineq \f(π,3)
＝－eq \f(4,5)×eq \f(1,2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
类型二 逆用或变形应用公式
命题视角1：公式的逆用
[例2] 求值：
(1)cs(x＋20°)cs(x－40°)＋cs(x－70°)sin(x－40°)；
(2)sin347°cs148°＋sin77°cs58°.
[解] (1)原式＝cs(x＋20°)cs(x－40°)＋sin[90°＋(x－70°)]sin(x－40°)
＝cs(x＋20°)cs(x－40°)＋sin(x＋20°)sin(x－40°)
＝cs[(x＋20°)－(x－40°)]
＝cs60°＝eq \f(1,2).
(2)原式＝sin(－13°＋360°)·cs(180°－32°)＋sin77°cs58°
＝sin(－13°)(－cs32°)＋sin77°cs58°
＝－sin13°(－cs32°)＋sin77°·cs(90°－32°)
＝cs77°cs32°＋sin77°sin32°
＝cs(77°－32°)
＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
本题若将各式用两角和与差的三角函数公式展开，运算将很麻烦，以上解法是对上式进行整体分析，寻找角度之间的关系，再逆用公式进行化简.
[变式训练2] 求值：
(1)cs80°cs35°＋cs10°cs55°；
(2)sineq \f(π,12)＋cseq \f(π,12).
解：(1)原式＝cs80°cs35°＋sin80°sin35°＝cs(80°－35°)＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin\f(π,12)＋\f(\r(2),2)cs\f(π,12)))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,4)sin\f(π,12)＋cs\f(π,4)cs\f(π,12)))
＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,12)))＝eq \r(2)cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(6),2).
命题视角2：公式的变形应用
[例3] 化简：eq \f(2cs10°－sin20°,cs20°).
[分析] 本题主要考查两角和与差的余弦公式的灵活运用，本题中出现的10°，20°角直观上看似乎没有联系．但是两者之和是30°，所以把10°等价转化为30°－20°，就可以用两角差的余弦公式化简．
[解] 原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin20°,cs20°)
＝eq \f(\r(3)cs20°＋sin20°－sin20°,cs20°)＝eq \r(3).
本题的解题关键是借助已知角之和为30°，将10°转化为30°－20°，利用两角差的余弦公式求解.
[变式训练3] 求eq \f(2cs50°－\r(3)sin10°,cs10°)的值．
解：原式＝eq \f(2cs60°－10°－\r(3)sin10°,cs10°)
＝eq \f(2cs60°cs10°＋sin60°sin10°－\r(3)sin10°,cs10°)
＝eq \f(2cs60°cs10°＋2sin60°sin10°－\r(3)sin10°,cs10°)
＝eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°－\r(3)sin10°,cs10°)＝eq \f(cs10°,cs10°)＝1.
类型三 给值求值问题
[例4] 设cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cseq \f(α＋β,2).
[分析] 注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(α＋β,2)，因此可以求出cseq \f(α＋β,2).
[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
∴α－eq \f(β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，eq \f(α,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \r(1－\f(1,81))＝eq \f(4\r(5),9).
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3).
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝－eq \f(1,9)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(2,3)×eq \f(4\r(5),9)＝eq \f(7\r(5),27).
[变式训练4] 已知：cs(2α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，sin(α－2β)＝eq \f(\r(2),2)，且eq \f(π,4)<α解：因为eq \f(π,4)<α所以eq \f(π,4)<2α－β<π.
因为cs(2α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，所以sin(2α－β)＝eq \f(\r(2),2).
因为eq \f(π,4)<α因为sin(α－2β)＝eq \f(\r(2),2)，所以0<α－2β所以cs(α－2β)＝eq \f(\r(2),2).
所以cs(α＋β)＝cs[(2α－β)－(α－2β)]
＝cs(2α－β)cs(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)
＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝0.
类型四 给值求角问题
[例5] 已知α，β均为锐角，且csα＝eq \f(2\r(5),5)，csβ＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
[解] ∵α，β均为锐角，
∴sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
又∵sinα∴－eq \f(π,2)<α－β<0，∴α－β＝－eq \f(π,4).
解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图像就易求出角的值.
[变式训练5] 已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求β的值．
解：∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，
sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(5\r(3),14).
又∵β＝(α＋β)－α，
∴csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2).
又∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴β＝eq \f(π,3).
1．cs(－15°)的值是( D )
A．eq \f(\r(6)－\r(2),2) B．eq \f(\r(6)＋\r(2),2)
C．eq \f(\r(6)－\r(2),4) D．eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
解析：cs(－15°)＝cs15°＝cs(45°－30°)
＝cs45°·cs30°＋sin45°·sin30°
＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
2．已知cs(α＋β)＋cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则csαcsβ的值为( D )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)
解析：由两角和与差的余弦公式cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ，cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ.
∴cs(α＋β)＋cs(α－β)＝csαcsβ－sinαsinβ＋csαcsβ＋sinαsinβ＝2csαcsβ＝eq \f(1,3).
∴csαcsβ＝eq \f(1,6).
3．已知α为第二象限角，若sinα＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( A )
A．－eq \f(7\r(2),10) B．eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)
解析：∵α是第二象限角，
∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)－sinαsineq \f(π,4)
＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
4．cs(27°＋x)sin(57°＋x)－sin(207°＋x)sin(327°＋x)＝eq \f(1,2).
解析：原式＝cs(27°＋x)sin(57°＋x)－sin(180°＋27°＋x)sin(360°－33°＋x)
＝cs(27°＋x)sin(57°＋x)－sin(27°＋x)sin(33°－x)
＝cs(27°＋x)cs(33°－x)－sin(27°＋x)sin(33°－x)
＝cs[(27°＋x)＋(33°－x)]
＝cs60°＝eq \f(1,2).