高中2.3.3 直线与圆的位置关系学案

2.3.3　直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系的判定

(直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．

  (　　)

(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√

2．(教材P110练习A①改编)直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．相切

C．相离   D．无法判断

B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，又圆x2＋y2＝1的半径为1，∴d＝r，故直线与圆相切．]

3．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a＞0)没有公共点，则a的取值范围是        ．

0＜a＜－1　[由题意得圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0的距离大于半径a，即＞a，解得－－1＜a＜－1，又a＞0，∴0＜a＜－1．]

4．直线x＋y－2＝0，截圆x2＋y2＝4所得的弦长是        ．

2　[圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝．所以弦长l＝2＝2＝2．]

【例1】　已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？

[思路探究]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．

[解]　法一：由得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③

方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．

(1)当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点．

(2)当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．

(3)当b＜－2或b＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．

法二：圆的半径r＝，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝．

当d＜r，即－2＜b＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．

当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点．

当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．

直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

1．已知圆的方程x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？

[解]　法一：由得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0，①

其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)，

当－3＜b＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；

当b＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；

当b＜－3或b＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点．

法二：圆心(0,1)到直线y＝x－b距离d＝，圆半径r＝．

当d＜r，即－3＜b＜1时，直线与圆相交，有两个公共点；

当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点；

当d＞r，即b＜－3或b＞1时，直线与圆相离，无公共点．

【例2】　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．

[思路探究]　利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程．

[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，

所以点A在圆外．

(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，

则切线方程为y＋3＝k(x－4)．

因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，

所以＝1，即|k＋4|＝，

所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－．

所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，

即15x＋8y－36＝0．

(2)若直线斜率不存在，

圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，

这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．

综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．

过一点的圆的切线方程的求法

(1)点在圆上时

求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0．

(2)点在圆外时

①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．

②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．

提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．

2．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程．

[解]　圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式(x＋2)2＋y2＝1，圆心C(－2,0)，设过原点的直线方程为y＝kx，即kx－y＝0．∵直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离等于半径．

即＝1，∴3k2＝1，

k2＝，解得k＝±．

∵切点在第三象限，∴k＞0，

∴所求直线方程为y＝x．

[探究问题]

1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？

[提示]　将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝求弦长．

2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？

[提示]　通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2．

【例3】　直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．

[思路探究]　设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求．

[解]　据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

法一：联立方程组

消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0．

由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，

解得k＞0．又x1＋x2＝－，

x1x2＝，

由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．

∴|AB|＝

＝

＝

＝

＝4．两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合题意．

故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．

在Rt△AHO中，|OA|＝5，

|AH|＝|AB|＝×4＝2，

则|OH|＝＝．

∴＝，

解得k＝或k＝2．

∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

(变条件)直线l经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l方程．

[解]　圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25，圆心C(3,1)．因为|CP|＝＝＜5，所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短．

又kCP＝＝2．所以kl＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0．

直线与圆相交时弦长的两种求法

(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，则|AB|＝2．

图1　　　　　　图2

(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．

1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法

(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；

(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．

提醒：能用几何法，尽量不用代数法．

(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．

2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点

(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x－ay＋1＝0，则应将其化为x＝ay－1，然后代入消x．

(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．相切　　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心   D．相离

B　[圆心到直线的距离d＝＝＜1．

又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)．

∴直线与圆相交但不过圆心．]

2．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　)

A．±1　　　B．±  C．±　　　D．±

C　[设l：y＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＝0．

又l与圆相切，∴＝1．∴k＝±．]

3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为        ．

4　[圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4．]

4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是        ．

m＜－2或m＞2　[因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以＞，解得m＜－2或m＞2．]

5．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，求直线l的方程．

[解]　由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k．设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．

又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离

d＝＝＝．

解得k＝1或k＝．所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0．