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    2022届高中数学新人教B版 选择性必修第一册 第2章2.6.2双曲线的几何性质 学案

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    数学选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案

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    这是一份数学选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案,共11页。
    2.6.2 双曲线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)1.通过对双曲线几何性质的学习,培养直观想象素养.2.借助于几何性质的应用,提升逻辑推理,数学运算素养.我们知道,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线是两支开放式的曲线,椭圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,它具有四个顶点,离心率的范围是(0,1),它的大小决定着椭圆的扁圆程度;双曲线和椭圆有着相似之处,那双曲线又有怎样的性质呢?让我们一起对双曲线的性质进行探究吧!1.双曲线的几何性质标准方程1(a0b0)1(a0b0)性质图形焦点(c,0)(c,0)(0,-c)(0c)焦距2c范围xaxayRyayaxR对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0)A2(a,0)A1(0,-a)A2(0a)实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b离心率e(1,+∞)渐近线y±xy±x 思考1:能否用ab表示双曲线的离心率?[提示] . e思考2:离心率对双曲线开口大小有影响吗?满足什么对应关系?[提示] 有影响,因为e,故当的值越大,渐近线yx的斜率越大,双曲线的开口越大,e也越大,所以e反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大.2等轴双曲线实轴相等的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是y±x,离心率e1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为  (  )(2)双曲线1(a0b0)的渐近线方程为y±x  (  )(3)离心率越大,双曲线1的渐近线的斜率绝对值越大.  (  )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为ab,所以ca,所以e(2)× 由1,得y±x,所以渐近线方程为y±x(3)√ 由(e1),所以e越大,渐近线y±x斜率的绝对值越大.20<k<a,则双曲线11(  )A.相同的实轴     B.相同的虚轴C.相同的焦点   D.相同的渐近线C [∵0kaa2k20c2(a2k2)(b2k2)a2b2]3x21的渐近线方程为(  )Ay±2x       By±xCy±4x   Dy±xA [双曲线x21焦点在x轴上且a21b24a1b2y±x±2x]4.已知双曲线的焦点为(4,0)(4,0),离心率为2,则双曲线的标准方程为        1 [∵e2c4a2b2c2a212,且焦点在x轴上,故标准方程为1]5.已知双曲线的渐近线方程是y±4x,则其离心率为         [若双曲线焦点在x轴上,依题意得,416,即16e217e若双曲线焦点在y轴上,依题意得,4,即e2,故e即双曲线的离心率是]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质【例1】 求双曲线9y24x2=-36的顶点坐标焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程,然后由各个所求量的定义作答.[] 将9y24x2=-36变形为11a3b2c因此顶点为A1(3,0)A2(3,0)焦点坐标为F1(0)F2(0)实轴长是2a6,虚轴长是2b4离心率e渐近线方程y±x±x由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.2由标准方程确定焦点位置确定ab的值.3c2a2b2求出c从而写出双曲线的几何性质.1.求双曲线1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程.[] 由题意知a23b24所以c2a2b2347,解得ab2c因此,双曲线的实轴长2a2,虚轴长2b4顶点坐标为(0)(0)焦点坐标为(0)(0)离心率e由于该双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y±x,即y±x由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】 根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-),离心率e(2)与双曲线1有共同的渐近线,且过点(32)[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确,应先讨论焦点位置;再根据已知条件求解,对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解.[] (1)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别讨论如下:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为1(a0b0)e,得  由点P(3,-)在双曲线上,得1 a2b2c2,结合①②,得a21b2双曲线的方程为x21若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为1(a0b0)同理有1a2b2c2解得b2=-(不合题意,舍去)故双曲线的焦点只能在x轴上,所求双曲线的方程为x21(2)法一:双曲线1的渐近线方程为y±x当所求双曲线的焦点在x轴上时,设标准方程为1(a0b0)由题意,得解得a2b24双曲线的方程为1当所求双曲线的焦点在y轴上时,设标准方程为1(a0b0)由题意可得此方程组无解,所求双曲线的方程为1法二:所求双曲线与双曲线1有共同的渐近线.设所求双曲线的方程为λ(λ≠0)将点(3,2)代入,得λ,即λ双曲线的方程为,即为1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线方程λ(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.拓展延伸:巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a>0b>0)(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a>0b>0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(λ≠0,-b2λa2)(4)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为λ(λ≠0)(5)渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2λ(λ≠0)(6)渐近线为ax±by0的双曲线方程可设为a2x2b2y2λ(λ≠0)2.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为(0,13),且离心率为(2)渐近线方程为y±x,且经过点A(2,-3)[] (1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c13,又a5b2c2a2144故其标准方程为1(2)∵双曲线的渐近线方程为y±x若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为1(a0b0),则  A(2,-3)在双曲线上,1 ①②联立,无解.若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为1(a>0b>0),则  A(2,-3)在双曲线上,1 ③④联立,解得a28b232所求双曲线的标准方程为1与双曲线有关的离心率问题[探究问题]1.求离心率的突破点是什么?[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系.2.如何求离心率的取值范围?[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解.【例3】 已知AB为双曲线E的左、右顶点,点ME上,ABM为等腰三角形,且顶角为120°,求E的离心率.[] 设双曲线方程为1(a0b0),如图所示,|AB||BM|ABM120°,过点MMNx轴,垂足为N,在Rt△BMN中,|BN|a|MN|a,故点M的坐标为M(2aa),代入双曲线方程得a2b2,所以e(变换条件)F1F2是双曲线C1(a0b0)的两个焦点,若PF1PF2PF1F230°,求离心率.[] 在直角三角形PF1F2中,由题设可知:|F1F2|2c|PF2|c|PF1|c,又|PF1||PF2|2a,所以2ace1求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出ac,再计算e;二是依据条件建立参数abc的关系式,一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解,另一种方法是消去c转化成含的方程,求出后利用e求离心率.(2)求离心率的范围一般是根据条件建立abc的不等式,通过解不等式得的范围,再求得离心率的范围. 与渐进线有关的问题【例4】 如图,已知F1F2为双曲线1(a0b0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且PF1F230°,求双曲线的渐近线方程.[思路探究] 根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得ab的关系,进而可求渐近线方程.[] 设F2(c,0)(c0)P(cy0)1,解得y0±∴|PF2|Rt△PF2F1中,PF1F230°,则|PF1|2|PF2| 由双曲线的定义,得|PF1||PF2|2a ①②,得|PF2|2a∵|PF2|∴2a,即b22a2渐近线方程为y±x1双曲线1的渐近线为y±x双曲线1的渐近线为y±x两者容易记混可将双曲线方程中的“1”换成“0”然后因式分解即得渐近线方程.2若已知渐近线方程为mx±ny0,求双曲线方程,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决.方法一:分两种情况设出方程进行讨论.方法二:依据渐近线方程,设出双曲线方程m2x2n2y2λ(λ≠0),求出λ即可.显然方法二较好,避免了讨论.3.有共同渐近线的双曲线的方程.与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为λ(λ≠0).若λ0,则实轴在x轴上;若λ0,则实轴在y轴上,再依据题设条件可确定λ3.双曲线C的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F1F2,虚轴的一个端点为A,若AF1F2是顶角为120°的等腰三角形.求双曲线C的渐近线方程.[] 双曲线C的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F1F2,虚轴的一个端点为AAF1F2是顶点为120°的等腰三角形.可得cb,所以c23b2,即a2b23b2a22b2解得,或所以双曲线的渐近线方程为:y±xy±x 1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切,把双曲线的标准方程1(a0b0)右边的常数1换为0,就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by0变为a2x2b2y2λ,再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线特有的性质,利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形.1.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是(  )A1       B11C1   D1B [实轴长为10,虚轴长为6,所以a5b3当焦点在x轴上时,方程为1;当焦点在y轴上时,方程为1]2.已知双曲线1(a0b0)的渐近线方程是y±x,则双曲线的离心率为(  )A   BC   DB [由双曲线的渐近线方程是y±x,所以ba,所以c2a2b2a2a2a2,所以e2,所以e.故选B]3已知双曲线的渐近线方程为y±,虚轴长为4,则该双曲线的标准方程是        1y21 [若双曲线的焦点在x轴上,则2b4,解得b2a4,所以此时双曲线的标准方程为1;若双曲线的焦点在y轴上,则2b4,解得b2a1,所以此时双曲线的标准方程为y21.综上可知:该双曲线的标准方程是1y21]4.已知双曲线1(a0b0)的两条渐近线方程为y±x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为        y21 [双曲线右顶点为(a,0),一条渐近线xy0∴1a2b双曲线方程为y21]5.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1F2,且|F1F2|2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程.[] 由已知:c,设椭圆长、短半轴长分别为ab,双曲线半实轴、半虚轴长分别为mn解得a7m3.所以b6n2所以椭圆方程为1,双曲线方程为1 

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