数学选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案
展开
这是一份数学选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案,共11页。
2.6.2 双曲线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)1.通过对双曲线几何性质的学习,培养直观想象素养.2.借助于几何性质的应用,提升逻辑推理,数学运算素养.我们知道,椭圆是一条封闭的曲线,而双曲线是两支“开放式”的曲线,椭圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,它具有四个顶点,离心率的范围是(0,1),它的大小决定着椭圆的扁圆程度;双曲线和椭圆有着相似之处,那双曲线又有怎样的性质呢?让我们一起对双曲线的性质进行探究吧!1.双曲线的几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)性质图形焦点(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)焦距2c范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b离心率e=∈(1,+∞)渐近线y=±xy=±x 思考1:能否用a,b表示双曲线的离心率?[提示] 能. e===.思考2:离心率对双曲线开口大小有影响吗?满足什么对应关系?[提示] 有影响,因为e===,故当的值越大,渐近线y=x的斜率越大,双曲线的开口越大,e也越大,所以e反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大.2.等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是y=±x,离心率e=.1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为. ( )(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x. ( )(3)离心率越大,双曲线-=1的渐近线的斜率绝对值越大. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为a=b,所以c=a,所以e==.(2)× 由-=1,得y=±x,所以渐近线方程为y=±x.(3)√ 由==(e>1),所以e越大,渐近线y=±x斜率的绝对值越大.2.若0<k<a,则双曲线-=1与-=1有( )A.相同的实轴 B.相同的虚轴C.相同的焦点 D.相同的渐近线C [∵0<k<a,∴a2-k2>0.∴c2=(a2-k2)+(b2+k2)=a2+b2.]3.x2-=1的渐近线方程为( )A.y=±2x B.y=±xC.y=±4x D.y=±xA [双曲线x2-=1焦点在x轴上且a2=1,b2=4,∴a=1,b=2,y=±x=±2x.]4.已知双曲线的焦点为(-4,0),(4,0),离心率为2,则双曲线的标准方程为 .-=1 [∵e==2,c=4,∴a=2,∴b2=c2-a2=12,且焦点在x轴上,故标准方程为-=1.]5.已知双曲线的渐近线方程是y=±4x,则其离心率为 .或 [若双曲线焦点在x轴上,依题意得,=4,∴=16,即=16,∴e2=17,e=.若双曲线焦点在y轴上,依题意得,=4.∴=,=,即=.∴e2=,故e=,即双曲线的离心率是或.]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程,然后由各个所求量的定义作答.[解] 将9y2-4x2=-36变形为-=1,即-=1,∴a=3,b=2,c=,因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e==,渐近线方程y=±x=±x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.2由标准方程确定焦点位置,确定a、b的值.3由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.1.求双曲线-=1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程.[解] 由题意知a2=3,b2=4,所以c2=a2+b2=3+4=7,解得a=,b=2,c=.因此,双曲线的实轴长2a=2,虚轴长2b=4.顶点坐标为(-,0),(,0),焦点坐标为(-,0),(,0).离心率e===,由于该双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x,即y=±x.由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】 根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-),离心率e=;(2)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确,应先讨论焦点位置;再根据已知条件求解,对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解.[解] (1)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别讨论如下:①若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).由e=,得=. ①由点P(3,-)在双曲线上,得-=1. ②又a2+b2=c2,结合①②,得a2=1,b2=.∴双曲线的方程为x2-=1.②若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).同理有=,-=1,a2+b2=c2,解得b2=-(不合题意,舍去).故双曲线的焦点只能在x轴上,∴所求双曲线的方程为x2-=1.(2)法一:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.①当所求双曲线的焦点在x轴上时,设标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意,得解得a2=,b2=4.∴双曲线的方程为-=1.②当所求双曲线的焦点在y轴上时,设标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意可得此方程组无解,∴所求双曲线的方程为-=1.法二:∵所求双曲线与双曲线-=1有共同的渐近线.∴设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0).将点(-3,2)代入,得-=λ,即λ=,∴双曲线的方程为-=,即为-=1.求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线方程-=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.拓展延伸:巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).(3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(λ≠0,-b2<λ<a2).(4)与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).2.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为(0,13),且离心率为;(2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3).[解] (1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又=,∴a=5,b2=c2-a2=144,故其标准方程为-=1.(2)∵双曲线的渐近线方程为y=±x,若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=. ①∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1. ②由①②联立,无解.若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=. ③∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1. ④由③④联立,解得a2=8,b2=32.∴所求双曲线的标准方程为-=1.与双曲线有关的离心率问题[探究问题]1.求离心率的突破点是什么?[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系.2.如何求离心率的取值范围?[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解.【例3】 已知A、B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,求E的离心率.[解] 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为M(2a,a),代入双曲线方程得a2=b2,所以e=.(变换条件)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若PF1⊥PF2且∠PF1F2=30°,求离心率.[解] 在直角三角形PF1F2中,由题设可知:|F1F2|=2c,|PF2|=c,|PF1|=c,又|PF1|-|PF2|=2a,所以2a=-c,e===+1.求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出a,c,再计算e=;二是依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解,另一种方法是消去c转化成含的方程,求出后利用e=求离心率.(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a,b,c的不等式,通过解不等式得或的范围,再求得离心率的范围. 与渐进线有关的问题【例4】 如图,已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.[思路探究] 根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a,b的关系,进而可求渐近线方程.[解] 设F2(c,0),(c>0),P(c,y0),则-=1,解得y0=±.∴|PF2|=.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|PF1|=2|PF2|. ①由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a. ②由①②,得|PF2|=2a.∵|PF2|=,∴2a=,即b2=2a2.∴=.∴渐近线方程为y=±x.1.双曲线-=1的渐近线为y=±x,双曲线-=1的渐近线为y=±x,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程.2.若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线方程,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决.方法一:分两种情况设出方程进行讨论.方法二:依据渐近线方程,设出双曲线方程m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可.显然方法二较好,避免了讨论.3.有共同渐近线的双曲线的方程.与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).若λ>0,则实轴在x轴上;若λ<0,则实轴在y轴上,再依据题设条件可确定λ.3.双曲线C的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F1,F2,虚轴的一个端点为A,若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形.求双曲线C的渐近线方程.[解] 双曲线C的对称轴与坐标轴重合,两个焦点分别为F1,F2,虚轴的一个端点为A,若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形.可得c=b,所以c2=3b2,即a2+b2=3b2,a2=2b2,解得=,或=.所以双曲线的渐近线方程为:y=±x或y=±x. 1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切,把双曲线的标准方程-=1(a>0,b>0)右边的常数1换为0,就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by=0变为a2x2-b2y2=λ,再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线特有的性质,利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形.1.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A.-=1 B.-=1或-=1C.-=1 D.-或-=1B [实轴长为10,虚轴长为6,所以a=5,b=3.当焦点在x轴上时,方程为-=1;当焦点在y轴上时,方程为-=1.]2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,则双曲线的离心率为( )A. B.C. D.B [由双曲线的渐近线方程是y=±x知=,所以b=a,所以c2=a2+b2=a2+a2=a2,所以e2==,所以e=.故选B.]3.已知双曲线的渐近线方程为y=±,虚轴长为4,则该双曲线的标准方程是 .-=1或y2-=1 [若双曲线的焦点在x轴上,则=,2b=4,解得b=2,a=4,所以此时双曲线的标准方程为-=1;若双曲线的焦点在y轴上,则=,2b=4,解得b=2,a=1,所以此时双曲线的标准方程为y2-=1.综上可知:该双曲线的标准方程是-=1或y2-=1.]4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .-y2=1 [双曲线右顶点为(a,0),一条渐近线x-y=0,∴1==.∴a=2,又=,∴b=,∴双曲线方程为-y2=1.]5.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程.[解] 由已知:c=,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实轴、半虚轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3.所以b=6,n=2.所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.
相关学案
这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案,共15页。
这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案,共4页。学案主要包含了学习目标,学习过程,达标检测等内容,欢迎下载使用。
这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案,共4页。学案主要包含了学习目标,学习过程,学习拓展,学习小结,达标检测等内容,欢迎下载使用。