数学第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离学案设计

2.2.4　点到直线的距离

1．点到直线的距离

(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

思考：点P(x0，y0)到直线l1：x＝x1的距离是多少？点P(x0，y0)到直线l2：y＝y1的距离为多少？

[提示]　|x0－x1|；|y0－y1|．

2．两条平行直线之间的距离

(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．

(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用． (　　)

(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b．

  (　　)

(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　)

(4)两直线x＋2y＝m与2x＋4y＝3n的距离为． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

[提示]　(1)正确．

(2)应是d＝|y0－b|．

(3)正确．

(4)错误．将2x＋4y＝3n化为x＋2y＝n，因此距离为．

2．(教材P95练习A①改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　)

A．　　　B．　　　　C．2　　　　D．

D　[由点到直线的距离公式得：d＝＝．]

3．分别过点M(－1,5)，N(2,3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是        ．

3　[d＝|2－(－1)|＝3．]

4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－2＝0间的距离为        ．

1　[d＝＝1．]

5．求与直线l：3x－4y－11＝0平行且与直线l距离为2的直线方程．

[解]　∵与l平行的直线方程为3x－4y＋c＝0．

根据两平行直线间的距离公式得＝2，解得c＝－1或c＝－21．

∴所求方程为：3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0．

【例1】　求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．

[解]　当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B的距离不相等，故可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0．

由＝，

解得k＝0或k＝－．

所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0．

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为的直线的方程．

[解]　①当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0．

由题意知＝，解得k＝1或k＝－．

∴所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0．

②当直线不经过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0．

由题意知＝，解得a＝2或a＝6．

∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

综上所述，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

【例2】　已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－21＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．

[解]　l1的斜率为k1＝，l2的斜率k2＝＝．

因为k1＝k2，且l1与l2不重合，所以l1∥l2，

l2的方程可化为2x－7y－7＝0，

所以l1与l2间的距离为d＝＝＝．

求两平行线间距离一般有两种方法

(1)转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．

(2)公式法：直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．

2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程．

[解]　法一：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0，

∵两直线的距离为2，

∴＝2，∴m＝32或m＝－20．

∴所求直线为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．

法二：设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0．

在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，

点P0到直线5x－12y＋c＝0的距离为

d＝＝，

由题意得＝2，则c＝32或c＝－20．

∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．

[探究问题]

1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．你能求出d的取值范围吗？

[提示]　如图，

显然有0<d≤|AB|．

而|AB|＝

＝3．

故所求的d的变化范围为(0,3]．

2．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．

[提示]　由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．

而kAB＝＝，

∴所求直线的斜率为－3．

故所求的直线方程分别为

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．

【例3】　在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．

[思路探究]　点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．

[解]　如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，

即3·＝－1．

所以a＋3b－12＝0．①

又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，所以3×－－1＝0．即3a－b－6＝0，②

解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0．

所以由解得

即直线l与AB′的交点坐标为(2,5)．

所以点P(2,5)为所求．

在本例中，求到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的P点的坐标？

[解]　如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，求出点C′的坐标为．

所以AC′所在直线的方程为

19x＋17y－93＝0，

AC′和l的交点坐标为．

故P点坐标为为所求．

求最值问题的处理思路

(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．

(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．

(3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．

1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．

2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，会使问题更加清晰．

3．求两平行直线间的距离，即可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．

4．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)

A．7　　　B．5　　　C．3　　　D．2

A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7．]

2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)

A．   B． 

C．   D．

C　[l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝＝．]

3．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝        ．

10　[由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，∴a＋d＝10．]

4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为        ．

或－6　[由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6．]

5．已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－．

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

[解]　(1)由点斜式方程得，y－5＝－(x＋2)，

∴3x＋4y－14＝0．

(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0，则由平行直线间的距离公式得＝3，∴c＝1或－29．

∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．