高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案及答案
展开2.6 双曲线及其方程
2.6.1 双曲线的标准方程
学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决实际问题.(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.(重点) 3.理解双曲线标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(难点) | 1.通过对双曲线的定义,标准方程的学习,培养数学抽象素养. 2.借助于双曲线标准方程的推导过程,提升逻辑推理、数学运算素养. |
前面学习了椭圆及其几何性质,了解了椭圆形状与离心率e有关,在现实生活中还有一类曲线,与椭圆并称为“情侣曲线”,即双曲线,它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状,上、下两头粗,中间细,截面图的形状就是本节要学习的双曲线,它的标准方程和性质又如何?人们不禁要问,为什么建成这样的双曲线型冷却塔,而不建成竖直的呢?这就需要我们学习与双曲线相关的内容.
1.双曲线定义
一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a<|F1F2|.则平面上满足||PF1|-|PF2||=2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距,双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到,因此双曲线是一种圆锥曲线.
思考1:双曲线的定义中,若2a=|F1F2|,则点P的轨迹是什么?2a>|F1F2|呢?
[提示] 若2a=|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,点P的轨迹不存在.
思考2:定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么?
[提示] 此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 | x轴 | y轴 |
标准方程 | -=1 (a>0,b>0) | -=1 (a>0,b>0) |
图形 | ||
焦点坐标 | (-c,0),(c,0) | (0,-c),(0,c) |
a,b,c的关系式 | c2=a2+b2 |
思考3:双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?
[提示] 双曲线标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b的大小关系不确定.
思考4:如何确定双曲线标准方程的类型?
[提示] 焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为正,则焦点在y轴上.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线. ( )
(2)在双曲线标准方程-=1中,a>0,b>0且a≠b. ( )
(3)双曲线标准方程中,a,b的大小关系是a>b. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)× 差的绝对值是常数,且0<2a<|F1F2|才是双曲线.
(2)× 当a=b时,方程也表示双曲线,故该说法错误.
(3)× 在双曲线中a与b的大小关系不确定.
2.双曲线-y2=1的焦距为( )
A.4 B.8
C. D.2
B [a2=15,b2=1,c2=a2+b2=16,∴c=4,2c=8.]
3.若点M在双曲线-=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于( )
A.2 B.4
C.8 D.12
B [双曲线中a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|,
所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.]
4.点P到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹方程为 .
x2-=1 [因为|F1F2|=4=2c,所以c=2.
又2a=2,a=1,故b2=c2-a2=3,所以点P的轨迹方程为x2-=1.]
双曲线定义的应用 |
[探究问题]
1.双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值?
[提示] 不加绝对值,图象只为双曲线的一支,设F1、F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上,若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.
2.若点M在双曲线上,一定有||MF1|-|MF2||=2a吗?
[提示] 一定.若||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线,反之一定成立.
【例1】 已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.试求△F1PF2的面积.
[思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可.
[解] 由-=1得a=3,b=4,∴c=5.
由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得
|PF1|-|PF2|=-6,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
又∵|PF1|·|PF2|=32,∴|PF1|2+|PF2|2=100,
由余弦定理得
cos∠F1PF2==0,
∴∠F1PF2=90°,
∴S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=16.
1.(变换条件)若本例中的标准方程不变,点P是双曲线上的一点,且·=0,求△PF1F2的面积.
[解] 因为·=0,所以⊥,不妨设点P在右支上,
所以有
解得||·||=32,
所以S△PF1F2=||·||=16.
2.(变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|=32”换成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”,其他条件不变,试求△F1PF2的面积.
[解] 由-=1得a=3,b=4,∴c=5,
由|PF1|∶|PF2|=2∶5,
可设|PF1|=2k,|PF2|=5k.
由|PF2|-|PF1|=6可得k=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=10,
由余弦定理得
cos∠F1PF2=
==,
∴sin∠F1PF2=,S△F1PF2=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×4×10×=8.
双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因|F1F2|=2c,所以有
1定义:|r1-r2|=2a.
2余弦公式:.
3面积公式:
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.
求双曲线的标准方程 |
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)一个焦点是(0,-6),经过点A(-5,6);
(2)经过点P1和P2(,4)两点.
[思路探究] 先设出双曲线的标准方程,再构造关于a、b的方程组求解.
[解] (1)由已知c=6,且焦点在y轴上,另一个焦点为(0,6),
由双曲线定义
2a=|-|=8,
∴a=4,b2=c2-a2=20.
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)法一:当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
∵P1,P2在双曲线上,
∴解得,(不合题意舍去)
当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
将P1,P2的坐标代入上式得
解得
即a2=9,b2=16.
∴所求双曲线方程为-=1.
法二:∵双曲线的位置不确定,
∴设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
1.求双曲线标准方程的两个关注点
2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是有两种可能.
(2)设方程:根据焦点位置,设其方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn<0).
(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可得(求)标准方程.
提醒:求标准方程时,一定要先区别焦点在哪个轴上,选取合适的形式.
1.根据条件求双曲线的标准方程.
(1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;
(2)与椭圆+=1共焦点且过点(3,).
[解] (1)∵双曲线的焦点在y轴上,
∴可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
∵由题设知,a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,
∴∴解得a2=20,b2=16,
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)椭圆+=1的焦点坐标为(2,0),(-2,0).依题意,则所求双曲线焦点在x轴上,可以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=20.
又∵双曲线过点(3,),∴-=1.
∴a2=20-2,b2=2.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
与双曲线有关的轨迹问题 |
【例3】 在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.
[解] 因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,故设|PN|=3k,|PM|=4k.
则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
以MN所在的直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0)
由|PM|-|PN|=4得2a=4,
∴a=2,a2=4,由|MN|=20得2c=20,c=10,所以b2=c2-a2=96.
故所求双曲线方程为-=1(x≠±2).
求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,双曲线的定义,得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支;(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点,是否都在所求曲线上.
2.如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
[解] 圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,
则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.
∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1.
1.双曲线定义中||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号,当2a=|F1F2|时表示两条射线.
2.在双曲线的标准方程中,a>b不一定成立.要注意与椭圆中a,b,c的区别.在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2.
3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c的方程组.
如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.
1.“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [当方程表示双曲线时,一定有ab<0,反之,当ab<0时,若c=0,则方程不表示双曲线.]
2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为( )
A. B.1或-2
C.1或 D.1
D [由于a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,解得a=1.]
3.若方程+=3表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-2,2)
C [由题意,方程可化为-=3,
∴解得:m<-2.]
4.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 .
-y2=1 [设|PF1|=m,|PF2|=n.(m>0,n>0),在Rt△PF1F2中,m2+n2=(2c)2=20,m·n=2,由双曲线的定义知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=1,∴双曲线的标准方程为-y2=1.]
5.已知动圆M与圆C1:(x+3)2+y2=9外切且与圆C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
[解] 设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,
所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1.
相减得|MC1|-|MC2|=4.
又因为C1(-3,0),C2(3,0),
并且|C1C2|=6>4,
所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,
且有a=2,c=3.所以b2=5,
所求的轨迹方程为-=1(x≥2).
高中人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程学案设计: 这是一份高中人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程学案设计,共15页。
人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案: 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案,共4页。学案主要包含了学习目标,学习过程,达标检测等内容,欢迎下载使用。
数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程导学案: 这是一份数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程导学案,共5页。学案主要包含了学习目标,学习过程,学习拓展,达标检测,学习小结等内容,欢迎下载使用。