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    2022届高中数学新人教B版 选择性必修第一册 第2章2.6.1双曲线的标准方程 学案
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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案及答案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案及答案,共9页。

    2.6 双曲线及其方程

    2.6.1 双曲线的标准方程

    学 习 目 标

    核 心 素 养

    1.掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决实际问题.(重点)

    2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.(重点)

    3.理解双曲线标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(难点)

    1.通过对双曲线的定义,标准方程的学习,培养数学抽象素养.

    2.借助于双曲线标准方程的推导过程,提升逻辑推理、数学运算素养.

    前面学习了椭圆及其几何性质,了解了椭圆形状与离心率e有关,在现实生活中还有一类曲线,与椭圆并称为情侣曲线,即双曲线,它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状,上、下两头粗,中间细,截面图的形状就是本节要学习的双曲线,它的标准方程和性质又如何?人们不禁要问,为什么建成这样的双曲线型冷却塔,而不建成竖直的呢?这就需要我们学习与双曲线相关的内容.

    1.双曲线定义

    一般地,如果F1F2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a|F1F2|.则平面上满足||PF1||PF2||2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距,双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到,因此双曲线是一种圆锥曲线.

    思考1:双曲线的定义中,若2a|F1F2|,则点P的轨迹是什么?2a|F1F2|呢?

    [提示] 若2a|F1F2|,点P的轨迹是以F1F2为端点的两条射线;若2a|F1F2|,点P的轨迹不存在.

    思考2:定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么?

    [提示] 此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.

    2双曲线的标准方程

    焦点所在的坐标轴

    x

    y

    标准方程

    1

    (a0b0)

    1

    (a0b0)

    图形

    焦点坐标

    (c,0)(c,0)

    (0,-c)(0c)

    abc的关系式

    c2a2b2

    思考3:双曲线中abc的关系如何?与椭圆中abc的关系有何不同?

    [提示] 双曲线标准方程中的两个参数ab,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2c2a2,即c2a2b2,其中c>ac>bab的大小关系不确定;而在椭圆中b2a2c2,即a2b2c2,其中a>b>0a>ccb的大小关系不确定.

    思考4:如何确定双曲线标准方程的类型?

    [提示] 焦点F1F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为正,则焦点在y轴上.

    1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.  (  )

    (2)在双曲线标准方程1中,a>0b>0ab (  )

    (3)双曲线标准方程中,ab的大小关系是a>b (  )

    [答案] (1)× (2)× (3)×

    [提示] (1)× 差的绝对值是常数,且02a|F1F2|才是双曲线.

    (2)× 当ab时,方程也表示双曲线,故该说法错误.

    (3)× 在双曲线中ab的大小关系不确定.

    2.双曲线y21的焦距为(  )

    A4         B8

    C   D2

    B [a215b21c2a2b216c4,2c8]

    3.若点M在双曲线1上,双曲线的焦点为F1F2,且|MF1|3|MF2|,则|MF2|等于(  )

    A2       B4

    C8       D12

    B [双曲线中a216a4,2a8,由双曲线定义知||MF1||MF2||8,又|MF1|3|MF2|

    所以3|MF2||MF2|8,解得|MF2|4]

    4.点P到两定点F1(2,0)F2(2,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹方程为       

    x21 [因为|F1F2|42c,所以c2

    2a2a1,故b2c2a23,所以点P的轨迹方程为x21]

    双曲线定义的应用

    [探究问题]

    1.双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值?

    [提示] 不加绝对值,图象只为双曲线的一支,设F1F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1||MF2|2a,则点M在右支上,若|MF2||MF1|2a,则点M在左支上.

    2若点M在双曲线上,一定有||MF1||MF2||2a吗?

    [提示] 一定.若||MF1||MF2||2a(02a|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线,反之一定成立.

    【例1】 已知F1F2是双曲线1的两个焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|32.试求F1PF2的面积.

    [思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出F1PF2即可.

    [] 由1a3b4c5

    由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得

    |PF1||PF2|=-6

    ∴|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36

    ∵|PF1|·|PF2|32∴|PF1|2|PF2|2100

    由余弦定理得

    cos∠F1PF20

    ∴∠F1PF290°

    SF1PF2|PF1|·|PF2|16

    1(条件)若本例中的标准方程不变,点P是双曲线上的一点,且·0,求PF1F2的面积.

    [] 因为·0,所以,不妨设点P在右支上,

    所以有

    解得||·||32

    所以SPF1F2||·||16

    2(变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|32”换成“|PF1|∶|PF2|2∶5”,其他条件不变,试求F1PF2的面积.

    [] 由1a3b4c5

    |PF1|∶|PF2|2∶5

    可设|PF1|2k|PF2|5k

    |PF2||PF1|6可得k2

    ∴|PF1|4|PF2|10

    由余弦定理得

    cos∠F1PF2

    ∴sin∠F1PF2SF1PF2|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2×4×10×8

    双曲线上的点P与其两个焦点F1F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.|PF1|r1|PF2|r2F1PF2θ,因|F1F2|2c,所以有

    1|r1r2|2a.

    2.

    3

    一般地,在PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.

     

    求双曲线的标准方程

    【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程.

    (1)一个焦点是(0,-6),经过点A(5,6)

    (2)经过点P1P2(4)两点.

    [思路探究] 先设出双曲线的标准方程,再构造关于ab的方程组求解.

    [] (1)由已知c6,且焦点在y轴上,另一个焦点为(0,6)

    由双曲线定义

    2a||8

    a4b2c2a220

    所以所求双曲线的标准方程为1

    (2)法一:当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为1(a0b0)

    P1P2在双曲线上,

    解得(不合题意舍去)

    当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为1(a0b0)

    P1P2的坐标代入上式得

    解得

    a29b216

    所求双曲线方程为1

    法二:双曲线的位置不确定,

    设双曲线方程为mx2ny21(mn0)

    解得

    所求双曲线的标准方程为1

    1求双曲线标准方程的两个关注点

    2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤

    (1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是有两种可能.

    (2)设方程:根据焦点位置,设其方程为11(a0b0),焦点位置不定时,亦可设为mx2ny21(mn0)

    (3)寻关系:根据已知条件列出关于abc(mn)的方程组.

    (4)得方程:解方程组,将ab(mn)代入所设方程即可得()标准方程.

    提醒:求标准方程时,一定要先区别焦点在哪个轴上,选取合适的形式.

    1.根据条件求双曲线的标准方程.

    (1)a2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;

    (2)与椭圆1共焦点且过点(3)

    [] (1)∵双曲线的焦点在y轴上,

    可设双曲线的标准方程为1(a0b0)

    由题设知,a2,且点A(2,-5)在双曲线上,

    解得a220b216

    所求双曲线的标准方程为1

    (2)椭圆1的焦点坐标为(20)(20).依题意,则所求双曲线焦点在x轴上,可以设双曲线的标准方程为1(a0b0),则a2b220

    双曲线过点(3)1

    a2202b22

    所求双曲线的标准方程为1

     

    与双曲线有关的轨迹问题

    【例3】 在周长为48Rt△MPN中,MPN90°tan∠PMN,求以MN为焦点,且过点P的双曲线方程.

    [] 因为MPN的周长为48,且tan∠PMN,故设|PN|3k|PM|4k

    |MN|5k,由3k4k5k48k4.所以|PN|12|PM|16|MN|20

    MN所在的直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.

    设所求双曲线方程为1(a0b0)

    |PM||PN|42a4

    a2a24,由|MN|202c20c10,所以b2c2a296

    故所求双曲线方程为1(x≠±2)

    求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,双曲线的定义,得出对应的方程.

    求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支;(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点,是否都在所求曲线上.

    2.如图所示,已知定圆F1(x5)2y21,定圆F2(x5)2y242,动圆M与定圆F1F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.

    [] 圆F1(x5)2y21,圆心F1(5,0),半径r11

    F2(x5)2y242,圆心F2(5,0),半径r24

    设动圆M的半径为R

    则有|MF1|R1|MF2|R4

    ∴|MF2||MF1|310|F1F2|

    M的轨迹是以F1F2为焦点的双曲线的左支,且ac5,于是b2c2a2

    动圆圆心M的轨迹方程为1

    1.双曲线定义中||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|)不要漏了绝对值符号,当2a|F1F2|时表示两条射线.

    2.在双曲线的标准方程中,ab不一定成立.要注意与椭圆中abc的区别.在椭圆中a2b2c2,在双曲线中c2a2b2

    3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出abc的方程组.

    如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.

    1ab<0”方程ax2by2c表示双曲线(  )

    A.必要不充分条件    B.充分不必要条件

    C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

    A [当方程表示双曲线时,一定有ab<0,反之,当ab<0时,若c0,则方程不表示双曲线.]

    2.椭圆1与双曲线1有相同的焦点,则a的值为(  )

    A   B1或-2

    C1   D1

    D [由于a0,0a24,且4a2a2,解得a1]

    3.若方程3表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是(  )

    A(1,2)   B(2,+∞)   

    C(,-2)   D(2,2)

    C [由题意,方程可化为3

    解得:m<-2]

    4.已知双曲线的两个焦点分别为F1(0)F2(0)P是双曲线上的一点且PF1PF2|PF1|·|PF2|2,则双曲线的标准方程为       

    y21 [|PF1|m|PF2|n(m0n0),在Rt△PF1F2中,m2n2(2c)220m·n2,由双曲线的定义知|mn|2m2n22mn164a2,所以a24b2c2a21双曲线的标准方程为y21]

    5.已知动圆M与圆C1(x3)2y29外切且与圆C2(x3)2y21内切,求动圆圆心M的轨迹方程.

    [] 设动圆M的半径为r

    因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,   

    所以|MC1|r3|MC2|r1

    相减得|MC1||MC2|4

    又因为C1(3,0)C2(3,0)

    并且|C1C2|64

    所以点M的轨迹是以C1C2为焦点的双曲线的右支,

    且有a2c3.所以b25

    所求的轨迹方程为1(x≥2)

     

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