高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程导学案

2.7　抛物线及其方程

2.7.1　抛物线的标准方程

1．抛物线的定义

思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？

[提示]　不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．

2．抛物线的标准方程

思考2：确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？

提示：确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负．

思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？   

[提示]　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．    (　　)

(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．

  (　　)

(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． 

  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

[提示]　(1)√　抛物线的标准方程中p(p＞0)即为焦点到准线的距离．

(2)√　一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上．

(3)×　当定点在直线上时，不表示抛物线．

2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)

A．　　　B．－　　　C．8　　　D．－8

B　[由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－．]

3．抛物线y2＝－16x的焦点坐标为(　　)

A．(－4,0)　　　　　　　 B．(4,0)

C．(0,4)   D．(0，－4)

A　[y2＝－16x，∴p＝－8，∴＝－4，开口方向向左，

∴焦点坐标为(－4,0)．]

4．抛物线x2＝16y的准线方程为        ．

y＝－4　[抛物线的焦点在y轴上，开口方向向上，故准线方程为y＝－，且2p＝16，∴＝4，∴准线方程为y＝－4．]

【例1】　求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点M(－6,6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

[思路探究]　

[解]　(1)由于点M(－6,6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px(p＞0)，

将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

∴p＝3．

∴抛物线的方程为y2＝－6x．

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，

将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，

∴抛物线的方程为x2＝6y．

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．

(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，

∴抛物线的焦点是F(2,0)，

∴＝2，∴p＝4，

∴抛物线的标准方程是y2＝8x．

②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

即抛物线的焦点是F(0，－3)，

∴＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程是x2＝－12y．

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．

求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：

1依据条件设出抛物线的标准方程的类型；

2求参数p的值；

3确定抛物线的标准方程.

提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝aya≠0的形式，以简化讨论过程.

1．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,2)到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．

[解]　设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，

即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1，或a＝－9．

当焦点为F(－1,0)时，p＝2，抛物线的开口向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口向左，其方程为y2＝－36x．

[探究问题]

1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？

[提示]　抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1．定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．   

2．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？

[提示]　焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”．

3．抛物线方程中参数p的几何意义是什么？

[提示]　抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误．

【例2】　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．

[思路探究]　把|MF|比M到y轴的距离大，转化为|MF|与点M到x＝－的距离相等，从而利用抛物线定义求解．

[解]　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．

由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，

所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．

1．(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．

[解]　设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即2＋y＝4　①，又由例题的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故y＝2x0　②，

由①②可得或

故点N的坐标为或．

2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．

[解]　如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值， 

最小值为3＋＝．

这时点M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，

代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．

抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．

(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．

【例3】　(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　)

A．11．25 cm　　　 B．5．625 cm

C．20 cm   D．10 cm

(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．

(1)B　[如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40,30)在抛物线上，

∴302＝2p×40，∴p＝，

∴光源到反光镜顶点的距离为

＝＝＝5．625(cm)．]

(2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，

∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．

即抛物线方程为x2＝－25y．

∵每4米需用一根支柱支撑，

∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6．

由图知，AB是最长的支柱之一．

设点B的坐标为(2，yB)，解得yB＝－，点A的坐标为(2，－4)，∴|AB|＝yB－(－4)＝－＋4＝3．84，

∴最长支柱的长为3．84米．

求抛物线实际应用的五个步骤

(1)建立适当的坐标系．

(2)设出合适的抛物线方程．

(3)通过计算求出抛物线的标准方程．

(4)求出需要求出的量．

(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．

2．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0．75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？

[解]　如图所示，以拱桥的拱顶为原点，

以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y．

当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，

设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，

由22＝－yA，得yA＝－．

又知船面露出水面上的部分高为0．75 m，

所以h＝|yA|＋0．75＝2(m)．

所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航．

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．

1．抛物线y2＝4x上的点M(4，y0)到其焦点F的距离为(　　)

A．3　　　　　　　　 B．4

C．5   D．6

C　[由抛物线y2＝4x，得F(1,0)，如图，|FM|＝4＋＝4＋1＝5．

]

2．抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为(　　)

A．x2＝16y   B．x2＝8y

C．y2＝16x   D．y2＝8x

C　[抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)，则＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x．]

3．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则实数p＝        ．

4　[因为椭圆＋＝1，所以a2＝6，b2＝2，

所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，

所以右焦点为(2,0)，所以＝2，p＝4．]

4．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．

[解]　设焦点为F，

M点到准线的距离为d，

则d＝|MF|＝10，

即9＋＝10，∴p＝2，

∴抛物线方程为y2＝－4x．

将M(－9，y)代入抛物线的方程，

得y＝±6．∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．