高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程导学案
展开2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.(重点) 2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.(难点) | 1.通过抛物线的定义、标准方程的学习,培养数学抽象、直观想象素养. 2.借助于标准方程的推导过程,提升逻辑推理,数学运算素养. |
在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮,击炮是一种曲射炮,发射后炮弹先飞向空中,飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面,很难防,地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的.对于躲在战壕中的敌人,击炮的密集发射无疑是一场灾难.因此研究抛物线是很有必要的,这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线.
1.抛物线的定义
思考1:平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?
[提示] 不一定.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.
2.抛物线的标准方程
图形 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
y2=2px(p>0) | x=- | ||
y2=-2px(p>0) | x= | ||
x2=2py(p>0) | y=- | ||
x2=-2py(p>0) | y= |
思考2:确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?
提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.
思考3:已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?
[提示] 一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离. ( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.
( )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)√ 抛物线的标准方程中p(p>0)即为焦点到准线的距离.
(2)√ 一次项决定焦点所在的坐标轴,一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上.
(3)× 当定点在直线上时,不表示抛物线.
2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则实数a的值为( )
A. B.- C.8 D.-8
B [由y=ax2,得x2=y,=-2,a=-.]
3.抛物线y2=-16x的焦点坐标为( )
A.(-4,0) B.(4,0)
C.(0,4) D.(0,-4)
A [y2=-16x,∴p=-8,∴=-4,开口方向向左,
∴焦点坐标为(-4,0).]
4.抛物线x2=16y的准线方程为 .
y=-4 [抛物线的焦点在y轴上,开口方向向上,故准线方程为y=-,且2p=16,∴=4,∴准线方程为y=-4.]
求抛物线的标准方程 |
【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)过点M(-6,6);
(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.
[思路探究]
[解] (1)由于点M(-6,6)在第二象限,
∴过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左,焦点在x轴上,
设其方程为y2=-2px(p>0),
将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),
∴p=3.
∴抛物线的方程为y2=-6x.
若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),
将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3,
∴抛物线的方程为x2=6y.
综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0),
∴抛物线的焦点是F(2,0),
∴=2,∴p=4,
∴抛物线的标准方程是y2=8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0,-3),
即抛物线的焦点是F(0,-3),
∴=3,∴p=6,
∴抛物线的标准方程是x2=-12y.
综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.
求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为:
1依据条件设出抛物线的标准方程的类型;
2求参数p的值;
3确定抛物线的标准方程.
提醒:当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2=ax或x2=aya≠0的形式,以简化讨论过程.
1.已知抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2)到焦点的距离为6,求抛物线的标准方程.
[解] 设焦点F(a,0),|PF|==6,
即a2+10a+9=0,解得a=-1,或a=-9.
当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线的开口向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口向左,其方程为y2=-36x.
抛物线定义的应用 |
[探究问题]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,这句话的含义是什么?
[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一个动点,设为M;一个定点F,即抛物线的焦点;一条定直线l,即为抛物线的准线;一个定值,即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上,否则,动点M的轨迹就不是抛物线.
2.如何看待抛物线中焦点和准线的位置?
[提示] 焦点在抛物线开口方向的内部,而准线在外部,即“怀抱焦点,背着准线”.
3.抛物线方程中参数p的几何意义是什么?
[提示] 抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.
【例2】 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程.
[思路探究] 把|MF|比M到y轴的距离大,转化为|MF|与点M到x=-的距离相等,从而利用抛物线定义求解.
[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F的距离与它到直线l:x=-的距离相等.
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而=,
所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0).
1.(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2,求点N的坐标.
[解] 设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2,即2+y=4 ①,又由例题的解析知点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0),故y=2x0 ②,
由①②可得或
故点N的坐标为或.
2.(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+|MF|的最小值,并求出点M的坐标.
[解] 如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当A、M、N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,
最小值为3+=.
这时点M的纵坐标为2,可设M(x0,2),
代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化,根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题,在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
抛物线的实际应用 |
【例3】 (1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是( )
A.11.25 cm B.5.625 cm
C.20 cm D.10 cm
(2)某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.
(1)B [如图,建立直角坐标系,设抛物线方程是y2=2px(p>0).∵A(40,30)在抛物线上,
∴302=2p×40,∴p=,
∴光源到反光镜顶点的距离为
===5.625(cm).]
(2)解:如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,
∴100=-2p×(-4),2p=25.
即抛物线方程为x2=-25y.
∵每4米需用一根支柱支撑,
∴支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.
由图知,AB是最长的支柱之一.
设点B的坐标为(2,yB),解得yB=-,点A的坐标为(2,-4),∴|AB|=yB-(-4)=-+4=3.84,
∴最长支柱的长为3.84米.
求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)设出合适的抛物线方程.
(3)通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)求出需要求出的量.
(5)还原到实际问题中,从而解决实际问题.
2.河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时,小船开始不能通航?
[解] 如图所示,以拱桥的拱顶为原点,
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意可知点B(4,-5)在抛物线上,故p=,得x2=-y.
当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,
设此时船面宽为AA′,则A(2,yA),
由22=-yA,得yA=-.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m,
所以h=|yA|+0.75=2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时,小船开始不能通航.
1.抛物线的定义中不要忽略条件:点F不在直线l上.
2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数p,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2=2mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2=2my(m≠0).
1.抛物线y2=4x上的点M(4,y0)到其焦点F的距离为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
C [由抛物线y2=4x,得F(1,0),如图,|FM|=4+=4+1=5.
]
2.抛物线的准线方程为x=-4,则抛物线方程为( )
A.x2=16y B.x2=8y
C.y2=16x D.y2=8x
C [抛物线的准线为x=-4,易知抛物线是开口向右的抛物线.设方程为y2=2px(p>0),则=4,p=8,抛物线方程为y2=16x.]
3.若抛物线y2=2px(p≠0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则实数p= .
4 [因为椭圆+=1,所以a2=6,b2=2,
所以c2=a2-b2=4,故c=2,
所以右焦点为(2,0),所以=2,p=4.]
4.抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和M点的坐标.
[解] 设焦点为F,
M点到准线的距离为d,
则d=|MF|=10,
即9+=10,∴p=2,
∴抛物线方程为y2=-4x.
将M(-9,y)代入抛物线的方程,
得y=±6.∴M点坐标为(-9,6)或(-9,-6).
人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程学案及答案: 这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程学案及答案,共12页。
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