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    2022届高中数学新人教B版 选择性必修第一册 第2章2.7.1抛物线的标准方程 学案
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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程导学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程导学案,共9页。

    2.7 抛物线及其方程

    2.7.1 抛物线的标准方程

    学 习 目 标

    核 心 素 养

    1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.(重点)

    2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.(难点)

    1.通过抛物线的定义标准方程的学习,培养数学抽象直观想象素养.

    2.借助于标准方程的推导过程,提升逻辑推理,数学运算素养.

    在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮,击炮是一种曲射炮,发射后炮弹先飞向空中,飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面,很难防,地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的.对于躲在战壕中的敌人,击炮的密集发射无疑是一场灾难.因此研究抛物线是很有必要的,这节课我们就要走入抛物线看一看追击炮的弹道曲线.

    1.抛物线的定义

    思考1:平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?

    [提示] 不一定.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.

    2.抛物线的标准方程

    图形

    标准方程

    焦点坐标

    准线方程

    y22px(p0)

    x=-

    y2=-2px(p0)

    x

    x22py(p0)

    y=-

    x2=-2py(p0)

    y

    思考2:确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?

    提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.

    思考3:已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?   

    [提示] 一次项变量为x(y),则焦点在x(y)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定.

    1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.    (  )

    (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.

      (  )

    (3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线. 

      (  )

    [答案] (1)√ (2)√ (3)×

    [提示] (1)√ 抛物线的标准方程中p(p0)即为焦点到准线的距离.

    (2)√ 一次项决定焦点所在的坐标轴,一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上.

    (3)× 当定点在直线上时,不表示抛物线.

    2.抛物线yax2的准线方程是y2,则实数a的值为(  )

    A   B.-   C8   D.-8

    B [yax2,得x2y=-2a=-]

    3.抛物线y2=-16x的焦点坐标为(  )

    A(4,0)        B(4,0)

    C(0,4)   D(0,-4)

    A [y2=-16xp=-8=-4,开口方向向左,

    焦点坐标为(4,0)]

    4.抛物线x216y的准线方程为       

    y=-4 [抛物线的焦点在y轴上,开口方向向上,故准线方程为y=-,且2p164准线方程为y=-4]

    求抛物线的标准方程

    【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程.

    (1)过点M(6,6)

    (2)焦点F在直线l3x2y60上.

    [思路探究] 

    [] (1)由于点M(6,6)在第二象限,

    M的抛物线开口向左或开口向上.

    若抛物线开口向左,焦点在x轴上,

    设其方程为y2=-2px(p0)

    将点M(6,6)代入,可得36=-2p×(6)

    p3

    抛物线的方程为y2=-6x

    若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x22py(p0)

    将点M(6,6)代入可得,362p×6p3

    抛物线的方程为x26y

    综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6xx26y

    (2)①∵直线lx轴的交点为(2,0)

    抛物线的焦点是F(2,0)

    2p4

    抛物线的标准方程是y28x

    ②∵直线ly轴的交点为(0,-3)

    即抛物线的焦点是F(0,-3)

    3p6

    抛物线的标准方程是x2=-12y

    综上所述,所求抛物线的标准方程是y28xx2=-12y

    求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为:

    1线

    2p的值;

    3线.

    提醒:当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2axx2aya≠0的形式,以简化讨论过程.

    1.已知抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(5,2)到焦点的距离为6,求抛物线的标准方程.

    [] 设焦点F(a,0)|PF|6

    a210a90,解得a=-1,或a=-9

    当焦点为F(1,0)时,p2,抛物线的开口向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(9,0)时,p18,抛物线开口向左,其方程为y2=-36x

    抛物线定义的应用

    [探究问题]

    1.抛物线定义的实质可归结为一动三定,这句话的含义是什么?

    [提示] 抛物线定义的实质可归结为一动三定,一个动点,设为M;一个定点F,即抛物线的焦点;一条定直线l,即为抛物线的准线;一个定值,即点M与点F的距离和Ml的距离之比等于1.定点F不能在直线上,否则,动点M的轨迹就不是抛物线.   

    2.如何看待抛物线中焦点和准线的位置?

    [提示] 焦点在抛物线开口方向的内部,而准线在外部,即怀抱焦点,背着准线

    3.抛物线方程中参数p的几何意义是什么?

    [提示] 抛物线的标准方程中参数p的几何意义是:抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p0的错误.

    【例2】 若位于y轴右侧的动点MF的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程.

    [思路探究] 把|MF|My轴的距离大,转化为|MF|与点Mx=-的距离相等,从而利用抛物线定义求解.

    [] 由于位于y轴右侧的动点MF的距离比它到y轴的距离大,所以动点MF的距离与它到直线lx=-的距离相等.

    由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y22px(p>0)的形式,而

    所以p1,2p2,故点M的轨迹方程为y22x(x≠0)

    1(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2,求点N的坐标.

    [] 设点N的坐标为(x0y0),则|NF|2,即2y4 ,又由例题的解析知点M的轨迹方程为y22x(x≠0),故y2x0 

    ①②可得

    故点N的坐标为

    2(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA||MF|的最小值,并求出点M的坐标.

    [] 如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA||MF||MA||MN|,所以当AMN三点共线时,|MA||MN|取最小值,亦即|MA||MF|取最小值, 

    最小值为3

    这时点M的纵坐标为2,可设M(x0,2)

    代入抛物线方程得x02,即M(2,2)

    抛物线定义的两种应用

    (1)实现距离转化,根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.

    (2)解决最值问题,在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.

     抛物线的实际应用

    【例3】 (1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是(  )

    A1125 cm    B5625 cm

    C20 cm   D10 cm

    (2)某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.

    (1)B [如图,建立直角坐标系,设抛物线方程是y22px(p0)A(40,30)在抛物线上,

    ∴3022p×40p

    光源到反光镜顶点的距离为

    5625(cm)]

    (2)解:如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0).依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,

    ∴100=-2p×(4)2p25

    即抛物线方程为x2=-25y

    4米需用一根支柱支撑,

    支柱横坐标分别为-6,-2,2,6

    由图知,AB是最长的支柱之一.

    设点B的坐标为(2yB),解得yB=-,点A的坐标为(2,-4)∴|AB|yB(4)=-4384

    最长支柱的长为384米.

    求抛物线实际应用的五个步骤

    (1)建立适当的坐标系.

    (2)设出合适的抛物线方程.

    (3)通过计算求出抛物线的标准方程.

    (4)求出需要求出的量.

    (5)还原到实际问题中,从而解决实际问题.

    2.河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高075 m,则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时,小船开始不能通航?

    [] 如图所示,以拱桥的拱顶为原点,

    以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.

    设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意可知点B(4,-5)在抛物线上,故p,得x2=-y

    当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,

    设此时船面宽为AA,则A(2yA)

    22=-yA,得yA=-

    又知船面露出水面上的部分高为075 m

    所以h|yA|0752(m)

    所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时,小船开始不能通航.

    1.抛物线的定义中不要忽略条件:点F不在直线l上.

    2.确定抛物线的标准方程,从形式上看,只需求一个参数p,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m≠0)

    1.抛物线y24x上的点M(4y0)到其焦点F的距离为(  )

    A3         B4

    C5   D6

    C [由抛物线y24x,得F(1,0),如图,|FM|4415

    ]

    2.抛物线的准线方程为x=-4,则抛物线方程为(  )

    Ax216y   Bx28y

    Cy216x   Dy28x

    C [抛物线的准线为x=-4,易知抛物线是开口向右的抛物线.设方程为y22px(p0),则4p8,抛物线方程为y216x]

    3.若抛物线y22px(p≠0)的焦点与椭圆1的右焦点重合,则实数p       

    4 [因为椭圆1,所以a26b22

    所以c2a2b24,故c2

    所以右焦点为(2,0),所以2p4]

    4.抛物线y2=-2px(p0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和M点的坐标.

    [] 设焦点为F

    M点到准线的距离为d

    d|MF|10

    910p2

    抛物线方程为y2=-4x

    M(9y)代入抛物线的方程,

    y±6M点坐标为(9,6)(9,-6)

     

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