2022届山西省晋中市高三3月普通高等学校招生模拟考试（二模）数学试题含答案

这是一份2022届山西省晋中市高三3月普通高等学校招生模拟考试（二模）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了函数的图象大致是，已知，，则等于，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前试卷类型：A晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试数学试题（理科）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校，姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是A.   B.   C.   D.2.设复数，则复数的共轭复数等于A.   B.   C.   D.3.志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者全面上岗服务，现有5名志愿者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有A.90种   B.120种   C.180种   D.240种4.已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是A.   B.   C.   D.5.设随机变量服从正态分布，若，则等于A.1   B.2   C.3   D.46.函数的图象大致是A.   B.C.   D.7.已知，，则等于A.1   B.   C.   D.2或68.某班同学在一次化学实验中发现，某化学固体溶于水时，水中未溶解固体的质量M（单位：克）与放入水中的时间t（单位：分钟）满足以下关系：（为常数），若把9克的该化学固体放入水中t分钟后变成3克，则t约为（取，）A.6分钟   B.5分钟   C.4分钟   D.3分钟9.已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为A.   B.   C.   D.10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，平面内一点满足，的面积为，点为线段的中点，直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为A.   B.或   C.   D.211.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度﹐所得的图象关于轴对称，则的值可能为A.   B.   C.   D.12.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是A.   B.    C.    D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________.14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是__________.15.在平行四边形中，已知，，，，，则__________.16.如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为夹角为120°的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台Р到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为_____________千米.三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）·已知等比数列是各项均为正数的递增数列，，，成等差数列，且满足；（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，，，为的中点.（1）求证：，并且求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，由第一、第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：表一工序第一工序第二工序概率0.80.6表二等级一等品二等品三等品利润502010（1）用（万元）表示一件产品的利润，求的分布列和均值；（2）工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少工万元）时，第二工序加工结果为A级的概率增加.问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响?并说明理由.20.（本小题满分12分）已知：的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且，是否存在定圆E，使得直线与圆E相切?若不存在，说明理由，若存在，求出圆E的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）设.①当时，讨论函数在上的单调性；②在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标万程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）直线与曲线交于，两点，设点，求的值.23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数.（1）求的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.           晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试数学答案（理科）1.D[由题图知，阴影部分所表示的集合是，∵，，∴，故，故选D.]2.A[因为，所以，故选A.]3.D[由题意可知，其中有两位志愿者要被安排到同一服务站点，先选出2名志愿者作为一个整体，然后看作4个不同的元素安排到4个服务站点，即，故选D.]4.D[因为是的充分不必要条件，所以，即，故选D.]5.A[根据正态分布密度函数的图形特征，其图象关于直线对称，又因为，所以有，解得，故选A.]6.B[由题意可知，因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，可排除C，D选项，又恒成立，可排除A选项.故选B.]7.C[因为，所以，解得，又因为，所以.故选C.]8.B[由题意，当时，，因为，所以，.故选B.]9.C[由题意，设球的半径为，底面三角形边长为，因为侧棱长与底面边长之比为3：2，所以侧棱长为，因为三棱柱的侧面积为162，即满足，解得，可知侧棱长为9，底面边长为6，如图所示，设N，M分别是上、下底面的中心，MN的中点O是三棱柱外接球的球心，则，，，所以.故选C.]10.B[由题意，可得图象如图所示，因为，为的中点，为的中点，所以，所以，因为焦点到渐近线的距离，所以，又因为，，所以，所以，，所以，所以，所以，解得或，故或，故选B.]11.A[由题意可知，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，然后再向左平移个单位长度，可得的图象，因为所得的图象关于轴对称，可得，则，取，得.故选A.]12.B[设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，对于，，所以与曲线相切的切线方程为，即，对于，，所以与曲线，相切的切线方程为，即，所以有，即，令，，令，得到，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即，故选B.]13.80解析  二项式系数之和为32，即，解得，所以展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.14. 解析  因为对任意，恒成立，只需满足，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故实数的取值范围是.15.34解析  由题意可知，，，，所以.又因为，，所以.16.14解析  在中，由余弦定理得，，所以千米.设，因为，所以，，在中，由正弦定理得，，所以，，因此，因为，所以.所以当，即时，取到最大值14千米.17.解（1）设等比数列的公比为，且，由条件，，成等差数列，可得，即，可得，解得或（舍去），又因为，即，即.所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以.（2）因为，所以，数列的前项和.18.解（1）因为为的中点，，所以，因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以.根据条件，，，可知，，又因为，所以为正三角形，故，因为平面，所以.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则即取，又因为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.解（1）由题意可知，的可能取值为50，20，10，产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48，产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44，产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08，所以的分布列为5020100.480.440.08.（2）改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加万元时，第二工序加工结果为级的概率增加，设改良后一件产品的利润为，则可能的取值为，，，所以一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，所以，因为在上单调递增，故当时，取到最大值为40，又因为，所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.20.解（1）∵点在椭圆上，∴，∵椭圆的离心率，∴，即，代入，得到，，∴椭圆的方程为.（2）假设存在.∵，∴得到，①当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得，不妨令，，由，得，解得，此时，与圆相切.②当直线的斜率存在时，设：，，，联立得，则，由根与系数的关系得，，则，由，即可得，整理得，满足，∴，即原点到直线的距离为，∴直线与圆相切.综上所述，存在定圆，使得直线与圆E相切，这时定圆的方程为.21.解（1）由条件，得到，所以，，所以在点处的切线方程为，即，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.（2），得到，令，故，①当时，，函数单调递增，当时，，即，在上单调递增.②由题意可知，分别是方程的两个根，即的两个根，即，，原式等价于，因为，，所以原式等价于，又由于，，作差得，，即，所以原式等价于，因为，所以原式恒成立，即恒成立，令，，则不等式在上恒成立，令，又因为，当时，可得时，，所以在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，符合题意.当时，可得时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只需满足，由于，所以的取值范围为.22.解（1）由（为参数），消去参数得直线的普通方程为，由曲线的极坐标方程为及得曲线的直角坐标方程为.（2）把（为参数）代入得到，设，对应的参数分别为，，则，，所以，异号，故，所以的值为.23.解（1）当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故的解集为.（2）由于，所以，即，因为，故，即.故的取值范围为.