中考2022年专题复习：几何问题之相似（解析版）

这是一份中考2022年专题复习：几何问题之相似（解析版），共22页。试卷主要包含了已知点P是线段AB的黄金分割点等内容，欢迎下载使用。
中考2022年专题复习
几何问题之相似
一．黄金分割率
1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（　　）
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
2．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（　　）
A．+1 B．﹣1 C． D．
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 　 　．

二．射影定理
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．

5．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BD
C．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB
7．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　 　．

8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长 　 　．

三．相似综合
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．5.5


10．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，AG：GC等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
13．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CD＝4，点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，则OF的长为（　　）

A． B． C． D．

四．相似与三角函数
14．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　 　．

15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（　　）

A． B． C． D．
16．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为 　 　．

五．相交弦定理
17．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）

A．16 B．24 C．12 D．不能确定


18．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　 　．

19．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．




五．切割线定理
20．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝　 　．

21．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为　 　．

22．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP＝CP2．

六．弦切角定理
23．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于　 　度．

24．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
25．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°










参考答案
一．试题（共26小题）
1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（　　）
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴≈0.618，
∵AB＝10，
∴AP＝0.618AB＝6.18，
故选：D．
2．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么的值等于（　　）
A．+1 B．﹣1 C． D．
解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），
∴＝＝＝，
故选：D．
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为 　10﹣4　．

解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴CD＝BE＝BC＝×4＝2﹣2，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝2﹣2+2﹣2﹣4＝4﹣8，
∴S△ADE＝DE•AH＝×（4﹣8）×＝10﹣4，
故答案为：10﹣4．

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB•AD；
（2）解：∵AC2＝AB•AD，
∴62＝（AD+5）•AD，
整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4，
∵CD2＝AD•BD，
∴CD＝＝2．
5．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
解：∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴△BDA∽△ADC，
∴，
即，
解得，DC＝，
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BD
C．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；
故选：D．
7．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为　　．

解：连接BE．

∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF•BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC•BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD•AB＝AE•AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长 　　．

解：作EH⊥BC于H，如图，
∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，
∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝4，
∵△CEH为等腰直角三角形，
∴EH＝CH＝＝4，
∴BH＝12
在Rt△ABE中，BE＝＝4，
在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，
∴BE2＝BH•BF，
即BF＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．
故答案为．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．5.5
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠AED＝∠B，
∴∠AED＝∠C，
∴180°﹣∠EAC﹣∠AED＝180°﹣∠EAC﹣∠C，
∴∠ADE＝∠AEC，
∴△ADE∽△AEC，
∴，
∵AE＝3，AC＝AB＝6，
∴，
∴AD＝3，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（　　）

A． B． C． D．
解：∵DG：GF＝1：2，
∴设DG＝x，FG＝2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴FG∥DE，
∴∠CGF＝∠A．∠CFG＝∠B，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH⊥AB，FG∥DE，
∴CH⊥FG，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的根，
∴FG＝5，
∴＝（）2＝，
∴△GFC与四边形ABFG的面积比为＝1：3，
故选：A．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，AG：GC等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
解：如图，延长EF、CD相交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠H＝∠AEF，∠FDH＝∠FAE，
∵AF＝DF，
∴△FDH≌△FAE（AAS），
∴DH＝AE，
∵AE＝BE＝AB，AB＝CD，
∴AE＝CD，
∴CD＝2AE＝2DH，
∴HC＝2DH+DH＝3DH＝3AE，
∵AE∥HC，
∴△AGE∽△CGH，
∴＝＝＝，
即AG：GC＝1：3，
故选：B．

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴，
∴AF：CF＝1：3，
∵OA＝OC，
∴，
故选：B．
13．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CD＝4，点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，则OF的长为（　　）

A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝2，AB∥CD，
∵DE：EC＝1：3，
∴DE＝1，EC＝3，
∵CE∥AB，
∴△CFE∽△AFB，
∴＝＝，
即＝，
∴OF＝．
故选：B．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　　．

解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案为：．
15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（　　）

A． B． C． D．
解：
过A作AF⊥CD于F，
在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝＝3，
在Rt△CAD中，AC＝1，AD＝3，由勾股定理得：CD＝＝，
由三角形的面积公式得：＝，
×AF＝1×3，
解得：AF＝，
∵AC∥BD，
∴△CEA∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴sin∠AEC＝＝，
故选：A．
16．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为 　　．

解：在4×4的正方形方格中，作△DEF，使其顶点都在边长为1的小正方形顶点上，如图：

由勾股定理 可求出：BC＝2，AC＝2，DF＝，DE＝，
∴，，，
∴，
∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE＝∠ACB，
∴tan∠DFE＝tan∠ACB＝，
故答案为：．
17．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（　　）

A．16 B．24 C．12 D．不能确定
解：∵AP•BP＝CP•DP，
∴PD＝，
∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，
∴PD＝12，
∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．
故选：A．
18．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　10　．

解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA•PB＝PC•PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
19．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．

（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；

（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
20．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝　4　．

解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，
∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．
又∵PA•PB＝PC•PD，
∴4×6＝PD2，
则PD＝4．
故答案是：4．
21．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为　2　．

解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝2，PC＝4，
∴PA2＝PB×PC，
∴PA＝＝2．
故答案为：2．
22．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP＝CP2．

证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连接AM．
∵PC是圆O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠ACP+∠ACM＝90°，
又∵CM是直径，
∴∠M+∠ACM＝90°，
∴∠ACP＝∠M，
∵∠M＝∠CBP，
∴∠ACP＝∠CBP，
又∵∠APC＝∠CPB（公共角），
∴△ACP∽△CBP，
∴AP：CP＝CP：BP，
∴AP•BP＝CP2．

23．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于　55　度．

解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
24．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．

∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BCD＝∠A＝25°，
∵∠OBC＝∠BCD+∠D
∴∠D＝65°﹣25°＝40°．
故选：C．