选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系第2课时导学案

第2课时最值与范围问题

互动探究·关键能力

探究点一参数的最值或范围问题

精讲精练

例（2021山东聊城一中高二期中）已知椭圆的中心为坐标原点,一个焦点为(1,0)且与直线有公共点.

（1）求椭圆长轴最短时的标准方程;

（2）在（1）的条件下,若椭圆上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.

答案：（1）设椭圆的左、右焦点分别为则

设点是椭圆与直线的公共点,关于直线的对称点为 ,

则解得 ,

即 ,则 ,

则椭圆长轴长 ,

椭圆长轴最短时的标准方程为 .

（2）设椭圆上两点关于直线对称,

则点在与直线垂直的直线上,设直线方程为 ,

由得令 ,则 ,①

又 ,则线段的中点坐标为 ,代入有,

代入①,解得 ,

故m的取值范围是 .

解题感悟

解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

（2）利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;

（3）利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;

（4）利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;

（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．

迁移应用

1.如图,已知等腰直角三角形的一条直角边在轴上,点位于轴的下方,点位于轴的右侧,斜边的长为 ,且两点在椭圆上.

（1）若点 ,求椭圆方程;

（2）若 ,求两点在椭圆上时的取值范围.

答案：（1）由题意知 ,由是等腰直角三角形得, ,

解得

椭圆方程为 .

（2）由题意则 ,则 ,

在椭圆上解得，

首先则其次则

,即的取值范围是．

探究点二三角形面积的最值与范围问题

精讲精练

例已知圆经过椭圆的左、右焦点且与椭圆在第一象限的交点为三点共线,直线交椭圆于两点,为坐标原点,且 .

（1）求椭圆的方程;

（2）当的面积取到最大值时,求直线的方程.

答案：（1）由题意可知令得

由三点共线,知为线段的中点,则故所求椭圆的方程为 .

（2）由（1）易知直线的斜率为 ,

设直线的方程为由得 ,

则

由 ,得 ,

又点到直线的距离 ,

当且仅当即时,等号成立.

综上,直线的方程为或 .

解题感悟

解析几何中的三角形面积的最值问题是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形的面积,然后借助于函数的单调性或基本不等式求最值.

迁移应用

 1.（2020山东威海第一中学高二期末）已知抛物线上的一点到焦点的距离等于3.

（1）求抛物线的方程;

（2）若过点的直线与抛物线相交于两点,求面积的最小值.

答案：（1）抛物线的准线方程为到焦点的距离为 .

抛物线方程为 .

（2）设直线的方程为 .联立得 .

设 ,则 .

.

又 ,

.

时,取得最小值 .

探究点三其他量的最值或范围问题

精讲精练

例已知抛物线 ,过其焦点的直线与抛物线相交于两点,且 .

（1）求抛物线的方程;

（2）已知点的坐标为(-2,0),记直线的斜率分别为求的最小值.

答案：（1）因为直线过焦点 ,所以设直线的方程为 ,

由消去得 ,

所以 ,因为 ,所以因此,抛物线的方程为 .

（2）由（1）知抛物线的焦点为 ,设直线的方程为 ,

与联立并消去得 ,所以

易知

所以

.

因此,当且仅当时,有最小值 .

解题感悟

本题中有两个变量,所以引入变量（同时避免了对直线斜率是否存在的讨论）,转化为一个变量,将直线方程与抛物线方程联立,利用根与系数的关系和设而不求法进行计算,利用二次函数的最值求解.

迁移应用

 1. （2021黑龙江大庆铁人中学高二期中）已知双曲线是上的任意一点.

（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;

（2）设点的坐标为(5,0),求的最小值.

答案：（1）证明：设 ,到两准线的距离记为

两准线方程分别为 ,

又点在双曲线上（常数）,

即点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.

（2）设 ,由平面内两点间的距离公式得, ,

又点在双曲线上,当时,有最小值, .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（2020山东聊城高二期末）若点为椭圆上位于第一象限内的一点,过点作轴的垂线,垂足为为坐标原点,则面积的最大值为(     )

A. B. C.3D.

答案： A

解析：设 ,因为即

所以（当且仅当时取等号）,则面积的最大值为 .

2.已知点及抛物线 ,若抛物线上的点满足 ,则的最大值为(     )

A.3B.2

C. D.

答案：C

解析：设 ,则 ,由 ,得．

则 ,当且仅当时取等号．的最大值为．

3.已知抛物线 ,过点的直线与抛物线相交于两点,则的最小值为(      )

A.12B.24

C.16D.32

答案： D

解析：当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,

由得 ,所以．

当直线的斜率存在时,设其方程为 ,

由得 ,所以，

所以 ,综上,．

所以的最小值为32．

4.（2020福建莆田一中高二期中）设是抛物线上的两点,直线是线段的垂直平分线,当直线的斜率为时,直线在轴上的截距的取值范围是(     )

A. B.

C. D.

答案：A

解析：设直线的方程为 ,则线段的斜率为-2,设直线的方程为 ,与联立,化简得 ,

且

故线段AB的中点 ,由题意可知点在直线上,

,即 ,解得 ,

故直线m在轴上的截距的取值范围是 .

素养演练

数学运算——四边形面积的最值问题

1.已知椭圆：的左、右焦点分别为点是椭圆上的一点,若的面积为1.

（1）求椭圆的方程;

（2）过的直线与交于两点,设为坐标原点,若 ,求四边形面积的最大值.

答案：（1）由题意知所以 .又 ,

所以 .所以椭圆的方程为 .

（2）由题意知线段AB不平行于轴,设直线： ,将与联立,并消去得则解得

因为 ,所以四边形为平行四边形,又

则四边形的面积 .

因为 ,当且仅当时取等号,所以四边形面积的最大值为 .

素养探究：由勾股定理及椭圆的定义、三角形面积公式可求出 ,由 ,可得 ,由此能求出椭圆的方程.设出直线的方程,并代入椭圆方程,利用根与系数的关系、向量加法的意义以及三角形的面积公式,结合基本不等式求解即可.体现了数学运算的核心素养．