人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系学案设计

圆与圆的位置关系

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

根据两个圆的半径，以及两个圆的圆心距来判断两个圆位置关系的方法：

两个圆外离；

两个圆外切    =    ；

两个圆相交；

两个圆内切；

两个圆④ 内含 .

自主思考

1.若两圆的圆心距小于两圈的半径之和，则两圆相交吗？

答案：提示不一定，也可能内含.

2.若两圆有公共点，则成立吗？

答案：提示成立.

名师点睛

1.代数法判断圆与圆的位置关系

设两圆的方程分别为，，联立两方程，方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

2.判断两圆位置关系的注意点

（1）判断圆与圆的位置关系，主要是判断圆心距与半径的和、差的绝对值的大小.

（2）判断两圆的位置关系一般用几何法，因为用代数法判断时，有时得不到确切的位置关系，如有内切与外切两种关系，具体是哪一种相切，这是用代数法无法判断的.

3.两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆与圆相交，则两圆公共弦所在的直线方程为 .

互动探究·关键能力

探究点一判断两圆的位置关系

精讲精练

例（2021山东威海高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是(     )

A.外离B.外切

C.相交D.内切

答案：

解析：由，得，即，整理得，则其圆心为(-1,0)，半径，易知圆的圆心坐标为(1,0)，半径，

故两圆的圆心距为2，满足，所以两个圆相交.

解题感悟

判断两圆的位置关系的步骤：

①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．

②计算两圆圆心的距离 .

③通过，，的关系来判断两圆的位置关系，必要时可借助数形结合的思想求解.

迁移应用

1.（2020四川成都七中高二期中）圆与圆的位置关系是(      )

A.相交B.相切C.外离D.内含

答案：

解析：由可化为，则，，

由可化为，则，，

则，

则，所以圆与圆相交.

探究点二与两圆相切有关的问题

精讲精练

例（1）（2020山东济南历城二中高二月考）圆和圆的公切线的条数为(      )

A.1 B.2 C.3 D.4

（2）求与圆外切且与直线相切于点的圆的方程.

答案：（1）

解析：（1）圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径 .

所以，

所以，

所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线.

答案：（2）设所求圆的方程为，

已知圆的方程可化为，其圆心坐标为(1,0)，半径为1，

则，①

，②

.③

联立①②③，解得，，或，，，

故所求圆的方程为或 .

解读感悟

两圆相切时常用的性质：

（1）设两圆的圆心分别为，，半径分别为，，则两圆

（2）两圆相切时，两圆圆心的连线过切点.

迁移应用

1.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与圆相外切，则圆的方程为 .

答案：

解析：由题意知圆心，其到已知圆的圆心(2,3)的距离，设圆的半径为，

由两圆相外切可得，则圆的半径，故圆C的标准方程为 .

2.求圆与圆的公切线的条数.

答案：由题意可得两圆的圆心分别为，半径分别为，则，所以，可得圆相交，所以两圆共有两条公切线.

探究点三与两圆相交有关的问题

精讲精练

例（2020山东实验中学高二月考）如图，在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线对称.

（1）求直线的方程;

（2）设圆与圆交于点，点为圆上的动点，求面积的最大值.

答案：（1）把圆的方程化为，所以圆心，半径为，因为，所以的中点坐标为 .易知所求的直线与直线垂直，且经过的中点，即直线经过点(-2,1)，且斜率，所以所求直线的方程为，即 .

（2）由（1）得，直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离，因为圆和圆关于直线对称，所以圆的半径与圆的半径相等，为，所以弦长，要使的面积最大，则点到直线的距离最大，结合题图可知，当的延长线垂直于时，的面积最大，此时，点到直线的距离为，此时，的面积为 .所以面积的最大值为 .

解题感悟

公共弦长的求法

（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，已知圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，再根据勾股定理求解.

迁移应用

1.已知两圆和相交.

（1）求两圆公共弦所在直线的方程;

（2）求两圆公共弦的长度.

答案：（1）将两圆方程相减得，即两圆公共弦所在的直线方程为 .

（2）易知，则，设到的距离为，则，弦长，即两圆公共弦的长度为 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（2021辽宁沈阳高二检测）已知两圆分别为圆和圆 .这两圆的位置关系是(      )

A.相离 B.相交

C.外切 D.内切

答案：

2.若圆与圆有公共点，则的取值范围是(     )

A.(3,6) B.

C.  D.

答案：

3.两圆的公共弦长为(     )

A.5 B.

C.  D.10

答案：

素养演练

数学运算——圆系方程的应用

1.求圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程．

答案：设所求圆的方程为，

即，所以圆心坐标为 .

又圆心在直线上，所以，即 .

所以所求圆的方程为 .

素养探究：当经过两圆的交点时，圆的方程可设为，，然后用待定系数法求出即可.体现了数学运算的核心素养．