高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算第1课时导学案

第1课时空间向量的概念及线性运算

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一空间向量的概念

1.空间向量的定义

空间中既有① 大小又有② 方向的量称为空间向量（简称为向量）.

2.空间向量的有关概念

始点和终点③ 相同的向量称为零向量，零向量的方向是④ 不确定的.零向量在印刷时，通常用表示；书写时，用表示，零向量的模为0，即 .

模等于1的向量称为单位向量.因此，是单位向量的充要条件是 .大小⑤ 相等、方向⑥ 相同的向量称为相等的向量.向量和相等，记作 .

要点二共线向量与共面向量

如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.

两个向量和平行，记作 .两个向量平行也称为两个向量⑦ 共线 .

一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的⑧ 有向线段通过平移之后，都能在⑨ 同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.

要点三空间向量的线性运算

1.向量加法的三角形法则

我们知道，给定两个平面向量，，在该平面内任取一点，作，，作出向量，则是向量与的和（也称为向量与的和向量）.向量与的和向量也记作，因此 .

当平面向量与 ⑩ 不共线时，，，正好能构成一个⑪ 三角形，如图所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.

2.向量加法的平行四边形法则

空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个⑫ 不共线的向量，，在空间中任取一点，作，以为⑬ 邻边作一个平行四边形，作出向量，则 .

3.向量的加法满足的运算律

空间向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意的向量都有， .

4.向量减法的三角形法则

在空间中任取一点，作，，作出向量，则向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 .

当与不共线时，向量，，正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.

5.相反向量

给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量的相反向量记作⑭ .因此，的相反向量是，而且 .因为零向量的始点与终点⑮ 相同，所以 .

6.数乘向量

给定一个实数与任意一个空间向量，规定它们的乘积是一个空间向量，记作，其中：

（1）当且时，的模为，而且的方向：

当时，与的方向⑯ 相同；

当时，与的方向⑰ 相反 .

（2）当或时， ⑱ .

上述实数与空间向量相乘的运算简称为数乘向量.

自主思考

1.国庆期间，某游客从上海世博园游览结束后乘车到外滩观赏黄浦江，然后抵达东方明珠游玩，如果游客要登上东方明珠顶端俯瞰上海美丽的夜景，那他发生的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示位移？

答案：提示游客的实际位移是，可以用空间向量来表示这个位移.

2.在正方体中，和向量方向相同或相反的向量有哪些？

答案：提示向量 .

3.任意两个向量都共面吗？任意三个向量呢？

答案：提示任意两个向量都共面，任意三个向量不一定共面.

4.根据向量加法的三角形法则，化简的结果是什么？

答案：提示 .

5.在正方体中，向量与的和是什么？

答案：提示 .

6.的运算结果是什么？

答案：提示 .

7.的运算结果是什么？

答案：提示 .

8.在正方体中，向量的相反向量有哪些？

答案：提示 .

9.向量与向量共线吗？

答案：提示共线.

名师点睛

1.对空间向量的理解

空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性.形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等.空间向量的数形双重性使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决.

2.几类特殊向量

（1）零向量和单位向量均是从向量的模的角度进行定义的，，单位向量的模 .

（2）零向量不是没有方向，它的方向是任意的.

（3）注意零向量的书写，必须是这种形式.

（4）两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，则称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关.

互动探究·关键能力

探究点一空间向量的有关概念

自测自评

1.（多选）下列说法中正确的是(      )

A.若，则的长度相等，方向相同或相反

B.若向量是向量的相反向量，则

C.若空间向量满足，则

D.在平行四边形中，一定有

答案： ;

解析：，说明的长度相等，但方向不确定，故A中说法不正确；的相反向量，故，故B中说法正确；C中说法显然正确；与长度相等，但方向不同，所以不是相等向量，故D中说法不正确.

2.如图，在平行六面体中，下列四对向量：与；②与；③与；④与 .其中互为相反向量的有对，则等于(     )

A.1B.2

C.3D.4

答案：

解析：对于①，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于③，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②，与长度不一定相等，方向不相反，不互为相反向量；对于④，与长度相等，方向相同，为相等向量.故互为相反向量的有2对.

解题感悟

解答空间向量有关概念问题的注意点

（1）空间向量的两大要素：大小和方向；两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同.

（2）两个特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，方向任意；

②单位向量：长度为1的向量，方向不确定.

探究点二空间向量的加法、减法运算

精讲精练

例已知长方体，化简下列向量表达式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5） .

答案：（1）（2）（3）（4）（5）

解析：（1） .

（2） .

（3） .

（4） .

（5） .

解题感悟

（1）利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点.

（2）平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算.注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差.

迁移应用

1.在直三棱柱中，若，则 .（用表示）

答案：

解析：如图， .

探究点三空间向量的数乘运算

精讲精练

例如图所示，在平行六面体中，设，，，分别是的中点，试用表示以下各向量：

（1）；（2）；（3） .

答案：（1） .

（2） .

（3）

.

变式若把本例中的“是的中点”改为“在线段上，且 ”，其他条件不变，如何表示？

答案： .

解题感悟

利用数乘运算进行向量表示的技巧

（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则将目标向量转化为已知向量.

（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

迁移应用

1.如图，在正方体中，分别为的中点.用表示向量，则 .

答案：

解析： .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.下列四个命题中正确的是(     )

A.方向相反的两个向量是相反向量

B.若满足且同向，则

C.不相等的两个空间向量的模必不相等

D.对于任意向量，必有

答案：

2.在空间四边形中，若是正三角形，且点为其重心，则的化简结果是(     )

A. B.

C. D.

答案：

3.在四面体中，，为的中点，为的中点，则 .（用表示）

答案：

素养演练

直观想象——空间向量的线性运算

1.如图所示，已知空间四边形中，分别是的中点，连接，化简：

（1）；

（2），并标出化简结果的向量.

答案：（1），如图中向量 .

（2）如图，连接，，

如图中向量 .

素养探究：对空间向量表达式进行化简，一般要借助所涉及的几何体，在几何体中根据三角形法则或平行四边形法则进行空间向量的线性运算，在此过程中体现了直观想象的核心素养.