人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第2课时学案

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第2课时直线的两点式方程课标解读课标要求素养要求根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的方程的两种形式:两点式和截距式.1.数学抽象——能快速掌握直线的两点式方程和截距式方程.2.数学运算——能够应用直线的两点式与截距式方程解决有关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一直线的两点式方程已知直线过与两点,注意到是直线的一个① 方向向量 .设为平面直角坐标系中一点,则在直线上的充要条件是与 ② 共线 ,即 ,这就是直线的方程.当且③ 时,上式可以变形为这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程.要点二直线的截距式方程通常称为直线的截距式方程，需要特别注意的是，这只有直线在轴与在轴上的截距都存在且④ 不为0    时才成立.自主思考1.如何用点和的坐标表示过此两点的所有的直线的方程?答案：提示 .2.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示吗?答案：提示能.直线的截距式方程就是直线过两点的直线的两点式方程的简化形式.3.直线在轴和轴上的截距均为0吗?答案：提示直线与坐标轴的交点为(0,0),故在x轴和轴上的截距均为0.名师点睛1.对直线的两点式方程的理解（1）两点式方程的应用前提是且即斜率不存在及斜率为0时不能用两点式方程.当时,方程为 ;当时,方程为．（2）对于两点式中的两点,只要是直线上的两个点即可,两点式方程与这两个点的顺序无关.2.直线的截距式方程的注意点（1）截距式方程应用的前提是直线在轴和轴上的截距存在且均不为0,当直线与轴或轴的正半轴平行时不能用截距式方程.（2）截距并非距离,其中 ,截距相等的情况包括截距为零的情况,此时不可用截距式方程来表示直线.互动探究·关键能力探究点一直线的两点式方程精讲精练例三角形的三个顶点分别为 , , ,如图所示,求直线和直线的方程.答案：直线过两点,由两点式方程,得 ,整理得．直线的方程为．直线过两点,由两点式方程,得 ,整理得．直线的方程为．解题感悟（1）当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足,即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下,也可以先用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程．（2）由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时,常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系．迁移应用1.已知．（1）求线段的中点的坐标;（2）求的边上的中线所在直线的方程．答案：（1）因为 ,所以线段的中点的坐标为 ,即的坐标为(0,3)．（2）的边上的中线即线段 ,因为．所以线段所在直线的方程为 ,即 .探究点二直线的截距式方程精讲精练例求过点 ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程．答案：①当直线在两坐标轴上的截距均为0时,方程为 ;②当直线在两坐标轴上的截距不为0时,可设方程为 ,又过点解得的方程为 ,即 .综上所述,直线的方程为或 .变式在本例中,把“截距互为相反数”改为“截距相等”,其余条件不变,求直线的方程．答案：①当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距相等且都为0,直线方程为 ;②当直线不过原点时,设直线方程为 ,代入点(5,2),则 , ,直线方程为 ,即 .综上所述,直线的方程为或 .解题感悟（1）如果问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式求方程,用待定系数法确定其系数即可．（2）在选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．迁移应用1.根据下列条件,求直线的方程．（1）直线在轴上的截距为-2,在轴上的截距为-2;（2）直线过点(1,1),在两坐标轴上截得的线段长的和为10．答案：（1）由题意得 ,即．（2）设直线的方程为．由题意,得解得或所求直线方程为或．探究点三直线方程的综合应用精讲精练例（2021山东临沂高二期中）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点.（1）当的周长为12时,求直线的方程;（2）当的面积为6时,求直线的方程.答案：（1）设直线的方程为 ,因为直线过点 ,所以 ,①由题意得 .②由①②可得 ,解得或所以直线的方程为或 .（2）设直线的方程为 ,由题意知, , ,消去 ,得 ,解得或所以直线的方程为或 .解题感悟（1）使用待定系数法求直线方程的一般步骤：①设方程,②求系数,③代入方程求得直线方程;（2）若已知直线在两个坐标轴上的截距或题目中涉及截距,一般优先选择用截距式方程求解.迁移应用1.（2021山东潍坊高二期末）已知直线过定点 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线的方程为 .答案：或解析：设直线的方程为 .因为点在直线上,所以 ①.因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以 ②.由①②可知或解得或故直线l的方程为或 ,即或 .2.（2021山东威海高二期末）已知两点动点在线段上运动,则的最大值为 .答案：3解析：由题意知线段AB的方程为 ,则 ,所以 ,当时,取得最大值3.评价检测·素养提升课堂检测1.直线过一、二、三象限,则(     )A. B.C. D.答案：2.经过两点的直线方程是(      )A. B.C. D.答案：3.已知点在过点和的直线上,则的值是(      )A.5B.2C.-2D.-6答案：素养演练数学运算——利用直线的截距解决三角形的面积问题1.（2020山东青岛第二中学高二期中）过点作直线 ,与轴的正半轴分别交于两点,为原点．若的面积为 ,求的最小值,并求出此时直线的方程．解析：审：以过点的直线与两坐标轴的交点、坐标原点为顶点的三角形,求此三角形面积的最小值以及此时直线的方程.联：根据题意设出A,B的坐标,进而可得直线的方程,由及 ,最后利用基本不等式求最值,即可得答案.答案：解：设 ,其中 ,则由直线的截距式方程得直线l的方程为①         .将代入直线的方程,得．根据题意得 ,当且仅当②         ,即时,取得最小值8,因此直线的方程为③    ．解析：思：涉及直线与三角形的面积或最小值问题时,一般要把直线的方程设为截距式,并用截距表示三角形的面积,再利用均值不等式或函数的性质求其最值.