高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量第2课时导学案

第2课时面面的位置关系、三垂线定理及其逆定理

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一平面与平面垂直、平行的判定

如果是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,那么 ①  ; 或与 ② 重合 .

要点二三垂线定理及其逆定理

1.射影的概念

已知空间中的平面以及点 ,过作的③ 垂线 ,设与相交于点 ,则就是点在平面内的射影（也称为投影）.不难看出,当不是平面内的点时,如果的射影为 ,则与都是平面的一个④ 法向量 .

空间中,图形上所有点在平面内的射影所组成的集合 ,称为图形在平面内的射影.

2.三垂线定理及其逆定理

三垂线定理：如果⑤ 平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影⑥ 垂直 .

自主思考

1.若平面的法向量分别为 ,则平面和有什么位置关系？若呢？

答案：提示当时, ,所以 ,所以 .

当时,所以或与重合.

2.若直线是平面的斜线,直线垂直于在平面内的射影,则直线与垂直吗？

答案：提示不一定垂直.

3.三垂线定理及其逆定理中共有哪些垂直关系？

答案：提示线面垂直,平面内的直线和平面的斜线垂直,平面内的直线和斜线的射影垂直.

名师点睛

1.对三垂线定理的说明

（1）三垂线定理描述了斜线、射影、平面内的直线之间的垂直关系;

（2）定理中的直线和斜线可以相交,也可以异面;

（3）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.

2.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足、斜足来确定的,应用三垂线定理证明线线垂直的一般步骤：

（1）找平面及其垂线;

（2）找射影;

（3）证明射影和直线垂直,从而得到直线与直线垂直.

互动探究·关键能力

探究点一利用空间向量证明平面与平面平行

精讲精练

例在三棱柱中,侧棱垂直于底面,在底面中, ,是上一点,且平面为的中点,求证：平面平面 .

答案：证明如图所示,以点为原点建立空间直角坐标系,设 ,

则 ,设

所以 ,

设平面的一个法向量为 ,

则且

取则则

又因为平面所以

解得 ,

设平面的一个法向量为则且

取则则 ,

所以 ,所以 ,所以平面平面 .

解题感悟

向量法证明面面平行

设平面的一个法向量为 ,平面的一个法向量为 ,则 .

迁移应用

1.  如图,在四棱锥中,平面平面分别为的中点,证明：平面平面 .

答案：证明连接是等边三角形,

为的中点, , ,为的中点, ,

又平面平面 ,平面平面 ,平面平面 ,则以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ,

设 ,则 , , ,

设是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,

由得则 ,令 ,则 , ,

由得令 ,可得 , , ,

平面平面 .

探究点二利用空间向量证明平面与平面垂直

精讲精练

例（2020山东日照高二期中）如图,在四棱锥中,四边形为矩形,是以为直角的等腰直角三角形,平面平面 .证明：平面平面 .

答案：证明取的中点 ,的中点 ,连接 ,则 ,

又平面平面 ,平面平面 ,

所以平面 ,又 ,所以 .

则以点为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,

设 ,则 ,

所以 ,

设是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,

则由 ,得则 ,

令 ,则 ,即 ,

同理,则 ,令 ,可得 ,即 .

因为 ,所以 ,所以平面平面 .

解题感悟

利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.

迁移应用

1.  如图所示,在直三棱柱中,为的中点,证明：平面平面 .

答案：证明由题意得两两垂直,所以以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则

则 .

设平面的一个法向量为 ,则即

令得

设平面的一个法向量为 ,

则即

令得

平面平面 .

探究点三三垂线定理及其逆定理的应用

精讲精练

例如图,三棱锥中,平面 ,若分别是和的垂心,求证：平面 .

答案：证明如图,连接并延长交于点 ,则 ,连接 .

连接并延长交于点 ,则 .

连接并延长交于点 ,则 .连接 .

平面

（三垂线定理),点在上.

平面PAE,

平面 ,又平面 , .①

平面（三垂线定理).

平面 ,

平面 ,又平面 ,

.②

又平面 ,

由①②,知平面 .

解题感悟

（1）在证明线面垂直时,常常应用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直,可以使其过程简化.

（2）利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影.

迁移应用

1.  如图所示,已知四棱锥的底面是直角梯形, ,平面平面 .求证： .

答案：证明如图,取的中点 ,连接交于点 ,连接 .

因为 ,所以 .

又平面平面 ,平面平面平面 ,

所以平面 ,所以在平面内的射影为 .

在直角梯形中,由 ,易知 ,

所以 ,即 .

由三垂线定理的逆定理,得 .

评价检测·素养提升

1.若两个不同平面的法向量分别为 ,则(      )

A. B.

C.相交但不垂直D.以上均不正确

答案：

2.（2020浙江温州第五十一中学高二期中）平面的一个法向量为 ,平面的一个法向量为 ,则下列命题正确的是(      )

A.平行B.垂直

C.重合D.以上都不对

答案：

3.已知平面和平面的法向量分别为 ,且 ,则等于(      )

A.-4B.-8C.4D.8

答案：

4.下列命题中正确的是(     )

A.若直线与平面外的一条直线在平面内的射影垂直,则

B.若直线与平面外的一条直线垂直,则与在平面内的射影垂直

C.若向量和直线在平面内的射影垂直,则

D.若非零向量和平面平行,且和直线垂直,直线不与平面垂直,则垂直于在平面内的射影

答案：