高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角导学案及答案

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二面角课标解读课标要求素养要求1.理解二面角和二面角的平面角的概念.2.会用几何法和向量法求二面角的大小.1.数学抽象——能在具体的几何图形中识别和作出二面角的平面角.⒉数学运算——能利用空间向量求二面角的大小.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一二面角1.二面角的定义平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个① 半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的② 棱，这两个半平面称为二面角的面.如图所示，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的③ 平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为④ 直二面角 .2.二面角和两个平面相交所成角的范围二面角及其平面角的大小不小于，不大于 .而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于且不大于9的角的大小.要点二利用空间向量求二面角的大小如图（1）（2）所示，可以看出或，特别地， ⑤  .自主思考1.作二面角的平面角时，所取一点的位置不同，得到的平面角的大小相同吗？为什么？答案：提示相同.在棱上取的点虽然不同，但是得到的二面角的平面角的边都是对应平行的，由等角定理可以知道，这些角的大小都是相同的.2.二面角的棱与平面是什么位置关系？答案：提示垂直.3.如图所示，若、分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线（垂足分别为、），则二面角的大小与的夹角有什么关系？答案：提示 .4.设二面角的平面角为，平面的法向量分别为，则与，有什么关系？答案：提示 .名师点睛1.与二面角有关的面积运算如图，设为二面角的半平面上的一点，当二面角是一个锐角时，其大小为，过点作半平面的垂线，过（或）作棱的垂线（或），连接（或），则 .2.关于二面角大小的求法（1）根据二面角的定义，需要在两个半平面内作棱的垂线，由此得到二面角的平面角，此时，可用两条垂线的方向向量的夹角来求二面角的大小；（2）根据面积比来求，需要求出射影三角形和原三角形的面积，然后作商得到二面角的平面角的余弦值；（3）利用二面角的两个半平面的法向量来求，需要求出两个半平面的法向量，然后根据它们之间的关系，结合图形判断二面角的大小.3.利用向量法求空间角的注意事项利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角的取值范围的区别，特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，具体情况要看二面角是锐角还是钝角.互动探究·关键能力探究点一几何法求二面角精讲精练例（1）（2021山东日照高二联考）第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根33.3米高的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为 (     )A. B. C. D.（2）（2020湖北荆州中学高二期末）如图，正方形沿对角线折叠之后，平面平面，则二面角的余弦值为(      )A.2 B. C. D.答案：（1）（2）解析：（1）依题意得“斗冠”的高为60.3-33.3=27米，如图，米，米，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，而，，且在上单调递增，所以，所以，故选C.（2）设正方形的边长为，取的中点，连接，过作的平行线交于，连接 .因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以，又，，所以平面，所以，则二面角的平面角就是，因为，，所以，又，，所以，即，所以，故选C.解题感悟利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明（或说明）所作角为什么是二面角的平面角，最后计算出二面角的平面角大小.作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）垂线法；（3）垂面法.迁移应用1.如图，正方体的棱长为1，分别为棱、的中点，则平面与底面所成角的余弦值为(     )A. B.C. D.答案：解析：在正方体中，平面，分别为棱的中点，所以，所以平面，所以，，所以就是平面与底面所成角的平面角，所以 .探究点二利用面积的比求二面角精讲精练例在正方体中，棱长为，，分别为棱，的中点，求平面与平面所成角的余弦值.答案：如图，易知四边形为菱形.平面，平面，平面，正方形为菱形在平面内的射影.连接，，易知，，， .设平面与平面所成角的大小为，则，即平面与平面所成角的余弦值为 .解题感悟利用射影面积与图形面积比求二面角时，公式的意义：为二面角的大小，为在二面角的一个面内的图形的面积，为图形在另一个面内的射影的面积.当二面角为钝角时，此时二面角的大小为 .迁移应用1.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为3，，分别是侧棱和上的点，且，，则截面与底面所成角的余弦值为 .答案：解析：如图，设，由已知可得，在中，，即，解得 .， .设截面与底面所成角的大小为，则 .截面与底面所成角的余弦值为 .探究点三利用空间向量求二面角精讲精练例如图,四棱柱的所有棱长都相等,．（1）证明：底面 ;（2）若 ,求二面角的余弦值．答案：（1）证明：易知四边形和四边形均为矩形,所以 ,又所以因为底面 ,所以底面 .（2）因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形为菱形,所以 ,又底面 ,所以两两垂直．如图,以为坐标原点, , ,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．设四棱柱的棱长为2,因为 ,所以 ,所以 ,易知平面的一个法向量为 ,所以平面的一个法向量为设平面的一个法向量为 ,则由得 ,取 ,则 ,所以 ,所以 .由图形可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 .解题感悟利用向量法求二面角的解题步骤如下：迁移应用1.如图,直三棱柱中,分别是的中点, .（1）证明：平面 ;（2）求二面角的正弦值.答案：（1）证明：连接 ,交于点 ,则为的中点,连接 ,如图,因为为的中点,所以又因为平面平面所以平面 .（2）设 ,由得 ,则所以 ,又因为三棱柱为直三棱柱,所以以点为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图,则 ,所以 ,设平面的一个法向量为 ,则所以则令 ,得平面的一个法向量为 ,设平面的一个法向量为 ,则所以则令 ,则 ,则 ,所以 ,所以二面角的正弦值为 .评价检测·素养提升课堂检测1.三棱锥中,平面与平面的法向量分别为若 ,则二面角的大小为(     )A. B.C.或 D.或答案：2.在正方体中,点为的中点,则平面与平面的夹角的余弦值为(     )A. B. C. D.答案：3.（2020陕西榆林绥德中学高二期末）如图,正三棱柱中,各棱长都相等,则二面角的平面角的正切值为(      )A. B.C.1D.答案：4.如图,在底面是一个直角梯形的四棱锥中, , ,平面 ,则平面与平面所成角的余弦值为 .答案：素养演练逻辑推理、数学运算——与二面角有关的探索性问题1.如图,已知长方形中,为的中点.将沿折起,使得平面平面 .（1）求证： ;（2）在线段上是否存在点 ,使二面角的余弦值为？若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.答案：（1）证明：在长方形中, ,为的中点, .平面平面 ,平面平面 , 平面 ,平面 ,平面 , .（2）存在.理由：假设存在点 ,使二面角的余弦值为 .取的中点 ,连接 ,则 ,平面平面 ,平面 ,取的中点 ,连接 ,两两垂直.以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则 ,设 ,设平面的一个法向量为 ,则即得 ,取 ,则所以 ,易知平面的一个法向量为 ,所以 ,解得 ,所以为的中点时,二面角的余弦值为 .素养探究：（1）本题为与二面角有关的探究性问题,解决此类问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明;否则不成立,即不存在.（2）利用空间向量的坐标运算,可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题．体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．