高中数学1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第2课时学案设计

第2课时空间直角坐标系及空间向量坐标的应用

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一空间直角坐标系的建立

1.空间直角坐标系

在空间中任意选定一点作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系，然后过作一条与平面①  垂直的数轴轴.这样建立的空间直角坐标系记作②     .

2.空间直角坐标系的相关概念

在空间直角坐标系中，轴、轴、轴是两两互相③  垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为④  平面、⑤  平面、⑥  平面.

3.轴正方向的确定

轴的正方向一般按照如下方式确定：在轴的正半轴看平面，轴的正半轴绕点沿⑦  逆时针方向旋转能与轴的正半轴重合.

要点二空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标

1.点的坐标

空间一点的位置完全由有序实数组⑧  确定，因此将称为点的坐标，记作⑨     .此时，都称为点的坐标分量，且⑩  称为点的横坐标（或坐标），⑪  称为点的纵坐标（或坐标），⑫  称为点的竖坐标（或坐标）.

2.向量的坐标

在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量的⑬  始点都在原点，且它们的方向分别与轴、轴、轴的⑭  正方向相同，则是单位正交基底，且向量的坐标与点的坐标相同，即；

反之，如果为⑮ 单位正交基底，则任意选定一点作为原点，并使得轴、轴、轴的正方向分别与的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，而且其中向量的坐标与点的坐标仍然相同.

要点三空间向量坐标的应用

1.空间直角坐标系中向量的坐标与两点间的距离公式

事实上，设为空间直角坐标系中的两点，则，，所以 ⑯  ，因此 .

2.空间直角坐标系中的中点坐标公式

设线段的中点为，则，又因为，所以的坐标为 .这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式.

自主思考

1.如果点在轴的正方向上离原点的距离是2，那么点的横坐标是什么？

答案：提示  2.

2.如果点在轴的负方向上离原点的距离是2，那么点的纵坐标是什么？

答案：提示 -2.

3.如果点的坐标为(2,3,-3)，那么点到平面的距离是什么？

答案：提示  3.

4.空间直角坐标系中一个向量的坐标表示唯一吗？

答案：提示空间中一个向量的坐标因建系不同而不同，但只要坐标系确定了，向量的坐标表示一定唯一.

5.已知空间两点，那么的中点的坐标是什么？

答案：提示  (0,2,-1).

名师点睛

1.要确定空间中点的坐标，就必须先建立空间直角坐标系，确定空间中点的坐标常用的方法如下：找到点在三条坐标轴上的投影.即过点作三个平面分别垂直轴、轴、轴于三点（即为点在三条坐标轴上的投影），点在轴、轴、轴上的坐标分别为，则就是点的坐标.

2.空间中两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广，公式的推导方法就是通过构造辅助平面，将空间问题转化到平面中来处理.

互动探究·关键能力

探究点一空间直角坐标系

精讲精练

例设正四棱锥的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求点及的坐标.

答案：如图所示，建立空间直角坐标系，其中为底面正方形的中心，轴，轴，在轴上.

，而均在平面上， .

在平面内，与关于原点对称，与关于原点对称，

.

又，在中，，

.

解题感悟

迁移应用

1.如图，在直三棱柱中，，，，分别为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求点，，，，的坐标.

答案：由题意可设，以，即为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示.

点在轴上，且，，点的坐标为(0,1,0).

同理可得点的坐标为(0,0,2).

点在轴，轴，轴上的射影分别为，

点的坐标为(0,1,2).

同理可得点的坐标为，点的坐标为(1,0,1).

探究点二空间向量坐标的应用

精讲精练

类型一空间向量的坐标表示

例1（1）在空间直角坐标系中，已知点的坐标为(-1,2,1)，点的坐标为(1,3,4)，则(      )

A. B.

C. D.

（2）已知，若，则的坐标是(      )

A. B.

C. D.

（3）已知点，则线段的中点坐标为 .

答案：（1）（2）（3）(4,0,-1)

解析：（1） .

（2），，的坐标是 .

（3）设中点坐标为，则，，，所以线段的中点坐标为(4,0,-1).

类型2 空间向量坐标的应用

例2在棱长为1的正方体中，分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求与的夹角的余弦值；

（3）求的长.

答案：（1）

建立如图所示的空间直角坐标系，

则 .

所以，，， .

证明：因为，所以 .

（2）因为，

，，

所以 .

（3） .

变式本例的条件不变，证明 .

答案：证明由本例的解析可知，，

所以，所以，所以 .

解题感悟

（1）若存在坐标系，则根据几何体的结构特征写出相关点的坐标，进而得向量的坐标，利用向量的坐标运算求夹角和距离问题.

（2）若不存在坐标系，则要结合几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后，按照（1）求解即可.

迁移应用

1.已知，则的形状是(      )

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

答案：

解析：因为，

所以，

，

，

所以，所以是等腰三角形.

2.已知，则与的夹角为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：设与的夹角为，由题意，得，

，

又， .

3.在长方体中，，，点在上，，点在上且为的中点，求两点间的距离.

答案：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，设，由，可得，

即解得

则 .由为的中点，可得 .

.

评价检测·素养提升

1.已知，若，则点的坐标为(      )

A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)

C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)

答案：

2.已知，则等于(      )

A. B. C. D.

答案：

3.在空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是 .

答案：(4,-1,0)

4.已知，若，则 .

答案：1