高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系第1课时学案及答案

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第1课时两条直线的相交、平行与重合课标解读课标要求素养要求1.能根据斜率判定两条直线平行.2.能用解方程组法求两条直线的交点坐标.1.数学抽象、逻辑推理——会推导两直线相交、平行或重合的充要条件.2.数学运算——能通过求两直线的交点坐标，判断两直线的位置及应用两直线平行解决有关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一两条直线的相交、平行与重合若直线，，则：与相交；与平行且① ；与 ② 重合且 .要点二用直线的法向量表示两条直线的位置关系因为是直线的一个法向量，是直线的一个法向量，不难看出：（1）与相交（即只有一个交点）的充要条件是与 ③ 不共线，即；（2）与平行或重合的充要条件是与 ④ 共线，即 .自主思考1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？答案：提示不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等.2.设直线，的方向向量分别是， .（1）直线，相交的充要条件是什么？（2）若，则直线一定成立吗？答案：提示（1） .（2）不一定，直线与可能平行，也可能重合.名师点睛在直线的一般式方程条件下，两直线相交、平行与重合的充要条件设直线，直线，则：（1）或．（2）与重合的充要条件是，且 .（3）与相交的充要条件是 .互动探究·关键能力探究点一两条直线位置关系的判定精讲精练例判断下列各组中两条直线的位置关系.（1），；（2），；（3），；（4），答案：（1）把化为，则，，；易知，， .因为，所以与相交.（2）易知，，；把化为，所以，， .因为，所以与重合.（3）把化为，把化为，则，，；，， .因为，所以与平行.（4）把化为，把化为，则，，；，，，因为，而，所以与平行.解题感悟两条直线相交、平行或重合的四种判定方法：（1）把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断；（2）把直线方程都化为一般式，利用方程中，的系数之间的关系判断；（3）解由直线的方程组成的方程组，利用方程组的解的个数判断；（4）求两条直线的法向量，利用两个法向量的关系进行判断.迁移应用1.（多选）下列各直线中，与直线相交的是(      )A.  B.C.  D.答案： ; 解析：直线的斜率为2，与直线相交的直线的斜率不能等于2，，中直线的斜率均为2；，中直线的斜率为-2，故选CD.2.若直线，的法向量分别为，，则直线，的位置关系为(      )A.相交B.平行C.重合D.平行或重合答案：解析：由题意得，所以，故直线与平行或重合.探究点二两直线平行的应用精讲精练例（1）已知直线，，若，则的值为(      )A.-7B.-1C.-7或-1D.-2或4（2）与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是(      )A. B.C. D.答案：（1）（2）解析：（1）由题意得解得 .（2）设直线交轴于点，令，则， .设所求直线为，把代入得，，所求直线的方程为 .变式在本例（2）中，把条件“与直线平行”改为“一个法向量为 ”，其余条件不变，求直线的方程.答案：设直线交轴于点，令，则，，所求直线的一个法向量为，可设其方程为，把代入到方程中得，，则所求直线的方程为 .解题感悟（1）求与直线平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可设方程为，然后通过待定系数法求参数的值.（2）求与直线平行的直线的方程时，可设方程为，代入已知条件求出的值即可.（3）对于斜率为0或不存在的直线要单独讨论.迁移应用1.过直线，的交点且与平行的直线的方程为(      )A. B.C. D.答案：解析：由解得即两直线，的交点为(-4,-1).设与平行的直线的方程为，则，解得，故所求直线的方程为 .2.已知两条直线，，，则直线的一个法向量是(      )A. B.(-1,1)C.(-1,-1)D.答案：解析：时，不平行于， .，，解得，直线为，直线的斜率为1.故直线的一个法向量为(-1,1).探究点三两直线的交点问题精讲精练例（1）两直线和的交点在轴上，则的值是(      )A.-24B.6C. D.24（2）直线与的交点在第四象限，则的取值范围为(      )A.(-6,-2)B.C. D.答案：（1）（2）解析：（1）因为两条直线和的交点在轴上，所以设交点为，所以消去，可得 .（2）直线与的交点在第四象限，，联立方程得解得由题意知解得，即k的取值范围为 .解题感悟求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．（1）若一条直线的方程是斜截式，常应用代入消元法解方程组.（2）若直线的方程都是一般式，常应用加减消元法解方程组.迁移应用1.直线与直线的交点在(      )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：解析：由题意联立方程得解得即两直线的交点坐标为(-1,1)，在第二象限，故选B.2.若三条直线，和相交于一点，则 (      )A.-2B. C.2D.12答案：解析：联立得解得即直线与直线交于点，将点的坐标代入中，得，解得 .评价检测·素养提升课堂检测1.直线与直线重合的条件是(     )A.， B.，C.， D.，答案：2.已知过点和的直线与直线平行，则的值为(      )A.-8B.0C.2D.10答案：3.直线与直线的交点坐标是 .答案：4.直线过点，且与过点，的直线平行，则直线的方程为．答案：素养演练数学运算——直线系方程的应用1.求过两直线和的交点且与直线平行的直线的方程.答案：设所求直线的方程为，即 .（*）因为所求直线与直线平行，所以解得 .代入（*）式，得，即 .所以所求直线的方程为 .素养探究：求过两条直线交点的直线方程，可设过两条直线与的交点的直线系方程为（不包括的方程），再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.体现了数学运算的核心素养.