人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理学案

空间向量基本定理

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一共面向量定理

1.共面向量定理

如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在① 唯一的实数对，使 ② .

2.判断空间中四点共面的方法

由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法:如果，，三点③ 不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使 .

要点二空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

（1）空间向量基本定理

如果空间中的三个向量，， ④ 不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得 .

（2）线性组合

空间向量基本定理中,用，，表示的表达式唯一 .特别地，当，，不共面时，可知 .

表达式一般称为向量，，的线性组合或线性表达式.

2.基底

空间中不共面的三个向量，，组成的集合，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为⑤ 基向量；如果，则称为在基底下的⑥ 分解式 .

自主思考

1.为何要规定向量，不共线?

答案：提示若向量，共线，则对于任意的向量，向量，，都共面.

2.如何由共面向量定理得到判断空间中四点共面的方法?

答案：提示若四点中的任意三点不共线，连接任意两点的有向线段表示的向量，其中一个都可以用另外两个线性表示，则四点共面.

3.若空间中的三个向量，，不共面，且，则，，的值分别是什么?

答案：提示，， .

4.给出空间中的三个向量，，，空间中的任意一个向量都可以用这三个向量来表示吗?

答案：提示只有这三个向量不共面时才可以.

5.空间向量的基底唯一吗?

答案：提示不唯一，只要是不共面的三个向量都可以作为空间向量的一组基底.

名师点睛

对基底的三点说明

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底；

（2）基底中的三个向量不共面；

（3）一组基底是由三个不共面的向量构成，一个基向量是指基底中的某一个向量.

互动探究·关键能力

探究点一空间向量的共面问题

精讲精练

例（1）（2021山东枣庄八中高二检测）已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是(      )

A.1B.0C.3D.

（2）对于任意空间四边形，，分别是，的中点，如图，则与，是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由.

答案：（1）

解析：（1）因为，且，，，四点共面，所以，解得，故选D．

答案：（2）与，共面.证明如下：

在空间四边形中，，分别是，上的点，

则，，①

又，分别是，的中点，则，，②

将②代入①中，再将两式相加得，

所以，即与，共面.

解题感悟

证明空间向量共面或四点共面的方法

（1）向量共面：充分利用题干条件将其中一个向量表示成另两个向量的线性组合，即若，则向量，，共面.

（2）四点共面：若存在唯一的有序实数组使得对于空间任一点O和不共线的，，三点，有，且成立，则，，，四点共面.

迁移应用

1.（多选）若，，不共面，则(      )

A.，，共面B.，，共面

C.，，共面D.，，共面

答案： ; ;

解析：，，，共面，故B正确；

，，，共面，故C正确；

，，，共面，故D正确；

对于A选项，若设，则，

解得无解，因此，，不共面，故A不正确.

2.（多选）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则，的值可能为(      )

A.1， B.，1C.，-1D.，1

答案： ;

解析：，且，，，共面，

，，和，符合.

探究点二空间向量基本定理

精讲精练

例（1）已知是空间向量的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是(      )

A. B. C. D.

（2）（2020山东青岛二中期末）在平行六面体中，，则实数，，的值分别为(     )

A.，， B.，，

C.，， D.，，

答案：（1）（2）

解析：（1）易知只有与，不共面，故可以与，构成一组基底．

，，

，，，，

解题感悟

用基底表示向量的步骤

（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.

（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

（3）下结论：利用空间向量的一组基底a，b，c可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

迁移应用

1.（2020河南鹤壁一中高二检测）在四面体中，，分别是，的中点，是的三等分点（靠近点），若，，，则 (      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：如图所示：

2.设，，是三个不共面的向量，现在从①；②；③；④；⑤中选出可以与，构成空间向量的一组基底的向量，则所有可以选择的向量为（填序号）.

答案：③④⑤

解析：构成基底只要三个向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都可以选择.

探究点三空间向量基本定理的应用

精讲精练

例已知在平行六面体中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是 .

（1）求；

（2）求的模．

答案：（1）如图，令，，，为一组基底．

，，

.

（2），

，

.

变式本例的条件不变，求向量与的夹角的余弦值.

答案：，

所以向量与的夹角的余弦值为 .

解题感悟

利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧

根据条件确定基底，一般用已知的向量（向量的长度已知，夹角已知等）作为一组基底，用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角，可求向量的长度．

迁移应用

1.（多选）（2021山东德州一中高二月考）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是(     )

A.

B.

C.向量与的夹角是

D.与的夹角的余弦值为

答案： ;

解析：由题意可设棱长为1，则 .

，所以A中说法正确；

，所以B中说法正确；

易知向量，显然为等边三角形，所以，

所以向量与的夹角是所以向量与的夹角是所以C中说法不正确；

，

则，，

，

所以，所以D中说法不正确.

评价检测·素养提升

1.（多选）已知A，，，，是空间中的五点，若，，与，，均不能构成空间向量的一组基底，则下列结论正确的是(      )

A.，，不能构成空间向量的一组基底

B.，，不能构成空间向量的一组基底

C.，，不能构成空间向量的一组基底

D.，，能构成空间向量的一组基底

答案： ; ;

2.在下列条件中，使点与，，三点一定共面的是(     )

A.

B.

C.

D.

答案：

3.已知在四面体中，，，，的中点分别为点，，则 .（用，，表示）

答案：