高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质导学案及答案，共8页。

教材研习
教材原句
1.双曲线的几何性质
2.等轴双曲线
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐进线方程是⑥ y=±x，离心率为2 .
自主思考
1.双曲线y22-x24=1的焦点在哪个坐标轴上？
答案：提示y轴.
2.双曲线x23-y2=1的离心率是多少？
答案：提示e=233 .
3.等轴双曲线的渐进线方程与双曲线的方程有关吗？
答案：提示没有关系，所有等轴双曲线的渐进方程都是y=±x .
名师点睛
1.对双曲线渐近线的四点说明
（1）随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．
（2）由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．
（3）由双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形．
（4）e=ca=a2+b2a=1+b2a2，故当ba的值越大，渐近线y=bax的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反应了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
2.等轴双曲线的性质
（1）①渐近线方程为y=±x；②渐近线互相垂直；③离心率e=2．
（2）等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0)，当λ＞0时，焦点在x轴上；当λ＜0时，焦点在y轴上．
互动探究·关键能力
探究点一双曲线的几何性质
精讲精练
例（1）（2021山东济宁高二期中）点M为双曲线y22-x2=1上的任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是( )
A.1B.2
（2）求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
答案：（1）B
解析：（1）设M(x,y)，则|OM|=x2+y2，
∵点M在双曲线y22-x2=1上，
∴x2=y22-1，∴|y|≥2，
∴|OM|=y22-1+y2=32y2-1≥2，
∴|OM|的最小值是2 .
答案：（2）将方程x2-3y2+12=0化为标准方程为y24-x212=1，
∴a2=4，b2=12，
∴a=2，b=23，∴c=a2+b2=16=4 .
∴双曲线的实轴长2a=4，虚轴长2b=43，
焦点坐标为(0,-4),(0,4)，顶点坐标为(0,-2),(0,2)，
渐近线方程为y=±33x，离心率e=2 .
解题感悟
迁移应用
1.（2021山东威海高二期中）若双曲线C:y2a2-x2b2=1(a＞0,b＞0)与双曲线D:x24-y26=1有相同的渐近线，且C经过点(2,6)，则双曲线C的实轴长为( )

答案：B
解析：∵双曲线C与双曲线D有相同的渐近线，
∴可设双曲线C的方程为x24-y26=λ(λ≠0)，
将(2,6)代入可得λ=1-6=-5，∴双曲线C的方程为y230-x220=1，∴双曲线C的实轴长为230 .
2.（多选）（2020山师附中高二月考）关于双曲线C1:x29-y216=1与双曲线C2:y29-x216=-1，下列说法中正确的是( )
A.它们有相同的渐近线
B.它们有相同的顶点
C.它们的离心率不相等
D.它们的焦距相等
答案：C ; D
解析：双曲线C1的渐近线方程为y=±43x，双曲线C2的渐近线方程为y=±34x，故A中说法错误；双曲线C1的顶点坐标为(±3,0)，双曲线C2的顶点坐标为(±4,0)，故B中说法错误；
双曲线C1的离心率e1=c1a1=1+b12a12=1+169=53，双曲线C2的离心率e2=c2a2=1+b22a22=1+916=54，e1≠e2，故C中说法正确；
双曲线C1的焦距2c1=10，双曲线C2的焦距2c2=10，故D中说法正确.
探究点二由双曲线的性质求方程
精讲精练
例（1）已知双曲线的渐近线方程为y=±22x，实轴长为8，则该双曲线的方程为( )
A.x24-y22=1
B.x24-y22=1或y24-x28=1
C.x216-y28=1
D.x216-y28=1或y216-x232=1
（2）若双曲线过点(3,92)，离心率e=103，则双曲线的方程为 .
答案：（1）D（2）y281-x29=1
解析：（1）解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)，
由ba=222a=8，解得a=4b=22，此时双曲线的方程为x216-y28=1；
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为y2a2-x2b2=1(a＞0,b＞0)，
由ba=222a=8，解得a=4b=42，此时双曲线的方程为，y216-x232=1 .
所以双曲线的方程为x216-y28=1或y216-x232=1 .
解法二：因为双曲线的渐近线方程为y=±22x，所以设双曲线的方程为x22-y2=λ(λ≠0)，即x22λ-y2λ=1(λ≠0)，
因为双曲线的实轴长为8，所以当λ＞0时，22λ=8，解得λ=8，所以双曲线的方程为x216-y28=1；
当λ＜0时，2-λ=8，解得λ=-16，所以双曲线的方程为y216-x232=1 .
所以双曲线的方程为x216-y28=1或y216-x232=1 .
（2）由e2=109，得c2a2=109，设a2=9 k(k>0)，则c2=10 k，b2=c2-a2=k .
所以所求双曲线的方程为x29k-y2k=1 ①或y29k-x2k=1 ②.
把(3,92)代入①，得k=-161，与k＞0矛盾，舍去；
把(3,92)代入②，得k=9，故所求双曲线的方程为y281-x29=1 .
解题感悟
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.
（1）当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论，直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn＜0) .
（2）当双曲线的渐近线方程为y=±bax时，可以将双曲线方程设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0)
迁移应用
1.（2020江西临川一中高二期中）已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且双曲线过点P(1,3)，则该双曲线的标准方程为( )
A.x24-y2=1 B.x214-y2=1
C.x212-y2=1 D.y22-x22=1
答案：B
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)，
则渐近线方程为y=±bax，即ba=2，
所以双曲线的方程为x2a2-y24a2=1，所以1a2-34a2=1，解得a2=14，
所以双曲线的方程为x214-y2=1；
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a＞0,b＞0)，
则渐近线方程为y=±abx，即ab=2，
所以双曲线的方程为y24b2-x2b2=1，所以34b2-1b2=1，无解.
所以该双曲线的标准方程为x214-y2=1 .
2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点坐标为(2,0)，直线x=2与双曲线的一个交点为P，若点P到双曲线的两条渐近线的距离之和是23，则双曲线C的方程为( )
A.x2-y23=1 B.x23-y2=1
C.x22-y22=1 D.x24-y23=1
答案：A
解析：由题意可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，c=2，
将x=2代入双曲线方程，可得y=±b2a，则P(2,±b2a)，
则点P到两条渐近线的距离之和为2b+b2a2+b2+2b-b2a2+b2=23
，∵a2+b2=4，∴b=3，a=1，
因此双曲线C的方程为x2-y23=1 .
探究点三双曲线几何性质的应用
精讲精练
例（1）（2021陕西宝鸡高二期末）若双曲线y25-x2m=1的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是( )
A.(0,5)B.(5,10)
C.(0,15)D.(-15,0)
（2）（2021山东枣庄高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)，A，B是双曲线C上关于原点对称的两点，P是双曲线C上异于A，B的一点，若直线PA与直线PB的斜率都存在，且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是( )
A.2 B.3
C.2D.5
答案：（1）C（2）B
解析：（1）∵双曲线的方程为y25-x2m=1，∴m＞0，
∴e=ca=5+m5，
∵e∈(1,2)，∴1<5+m5<2，
∴1<5+m5<4，∴0＜m＜15 .即m的取值范围是(0,15).
（2）根据题意，设点A(m,n)，P(k,t)，则B(-m,-n)，m2a2-n2b2=1，k2a2-t2b2=1，kPA=t-nk-m，kPB=t+nk+m，所以kPA⋅kPB=t-nk-m⋅t+nk+m=t2-n2k2-m2=t2-n2a2(1+t2b2)-a2(1+n2b2)=b2a2=2，所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=3 .
解题感悟
求双曲线离心率的常见方法：
（1）依据条件求出a，c，再计算e=ca .
（2）依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成关于离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后，利用e=1+b2a2求解.
迁移应用
1.（2020山东济南高二期末）设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞b＞0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为( )
A.2B.2或233 C.2 D.233
答案：D
解析：易知直线l的方程为xa+yb=1，化为一般式得bx+ay-ab=0，
∴原点到直线l的距离为|-ab|a2+b2=34c，
∴4ab=3c2，即16a2b2=3c4，将b2=c2-a2代入得16a2(c2-a2)=3c4，
∴16a2c2-16a4=3c4，即3e4-16e2+16=0，
解得e=233或e=2，∵0＜b＜a，∴e=233（e=2舍去）.
2.（2021广东珠海斗门第一中学高二月考）已知椭圆C:x216+y212=1的离心率与双曲线C':x24-y2b2=1(b＞0)的离心率互为倒数，则b= ( )
答案：B
解析：因为椭圆C:x216+y212=1的离心率为16-1216=12，
所以双曲线C':x24-y2b2=1(b＞0)的离心率为4+b24=2，解得b=23 .
评价检测·素养提升
1.（2021天津河东高二期末）双曲线4x2-9y2=36的渐近线方程是( )
A.y=±32x B.y=±23x
C. y=±94x D.y=±49x
答案：B
2.（2020山东聊城二中高二月考）已知双曲线C:y2-x2a2=1(a＞0)的实轴长是一条渐近线的斜率的4倍，则双曲线C的虚轴长为( )
A.4B.2
答案：A
3.（2021陕西西安长安一中高二期末）某双曲线的一条渐近线方程为y=32x，且一个焦点坐标为(0,26)，则该双曲线的方程是( )
A.x26-y24=1 B.y26-x24=1
C.x218-y28=1 D.y218-x28=1
答案：D
4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)，其中y=2x为其一条渐近线方程，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.5 D.3
答案：C
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.通过双曲线的学习，进一不体会数形结合的思想.
1.直观想象——能依据双曲线的方程和图形研究其几何性质.
2.数学运算——能利用双曲线的简单几何性质求其方程，或根据双曲线的方程求其简单几何性质.
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形
性质
焦点
F1(-c，0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c
范围
① x≤-a或x≥a
y≥a或y≤-a
对称性
对称轴：② x轴、y轴，对称中心：③ 坐标原点
顶点
A1(-a,0)，A2(a,0)
A1(0,-a)，A2(0,a)
轴长
实轴长=④ 2a，虚轴长=⑤ 2b
离心率
e=ca(e>1)
渐近线
y=±bax
y=±abx