人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率第1课时导学案

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第1课时直线的倾斜角与斜率课标解读课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.1.数学抽象——能理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.数学运算——会用过两点的直线的斜率公式，并能用斜率解决有关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一直线的倾斜角1.倾斜角的定义—般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与轴① 相交，将轴绕着它们的交点按② 逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角;如果这条直线与轴平行或③ 重合，则规定这条直线的倾斜角为 .2倾斜角的取值范围倾斜角的取值范围是 .要点二直线的斜率1.斜率的定义一般地，如果直线l的倾斜角为，则当时，称为直线的斜率;当时，称直线的斜率④ 不存在 .⒉斜率的计算公式若是直线上两个不同的点，则当时，直线的斜率为，当时，直线的斜率⑤ 不存在 .自主思考1.为什么定义中要规定“最小正角”?答案：提示因为轴在旋转的过程中可以得到无数多个角，只有规定了最小的正角，倾斜角才是唯一确定的，更有利于我们利用倾斜角来研究直线.2.斜率公式中的与两点在该直线上的位置有关吗?答案：提示斜率公式中的与两点在该直线上的位置无关，即在直线1上任取不同的两点，斜率均不变.3.斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以调换吗?答案：提示斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，那么分母必须是 ;如果分子是，那么分母必须是，即 . 名师点睛1.对倾斜角的理解（1）清楚定义中含有的三个条件：①直线与轴相交;②绕直线与轴的交点按逆时针方向旋转;③与直线重合时所转的最小正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2.倾斜角与斜率的关系（1）当倾斜角是时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于轴(或平行于轴或与轴重合)．（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．（3）直线的斜率也反映直线相对于轴的正方向的倾斜程度．由的图像可知：当时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大;当时，斜率越大，倾斜角也越大．互动探究·关键能力探究点一直线的倾斜角精讲精练例（1）直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为(     )A. B.C.或 D.或（2）已知直线经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(      )A. B.C. D.答案：（1）（2）解析：（1）如图，当直线向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为 ;当直线向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为 .故选D.（2）直线倾斜角的取值范围是，因为直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是 .解题感悟（1）解答本类题要根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.（2）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.迁移应用1.（2021山东聊城高二期末）已知直线的倾斜角为，则角的取值范围为(     )A. B.C. D.答案：解析：因为直线的倾斜角为所以所以 .2.如图所示，直线的倾斜角是垂足为与轴分别交于点平分则的倾斜角为．答案：解析：因为直线的倾斜角为所以所以的倾斜角为．探究点二直线的斜率精讲精练例已知 .（1）求直线和的斜率;（2）若点在线段上（包括端点）移动，求直线的斜率的取值范围．答案：（1）由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率．（2）如图，当由运动到时，直线的斜率由增大到，∴直线的斜率的取值范围是．变式把本例中点A的坐标换为（-2,-4），其余条件不变，求直线的斜率的取值范围.答案：易知，当由运动到时，直线的斜率由减小，当直线与轴垂直时，直线的斜率不存在，然后继续减小到，所以直线的斜率的取值范围是 .解题感悟（1）由两点坐标求斜率运用两点的斜率公式求解.（2）涉及直线与线段有交点的问题，通常数形结合利用公式求解.迁移应用 1.（2021北京西城高二期末）已知点，（3，0），若直线的斜率为，则．答案： -1解析：根据斜率公式得，解得 .探究点三直线的倾斜角与斜率的综合应用精讲精练例（1）已知直线经过两点，则直线的倾斜角的取值范围是(     )A.B.C.或D.或（2）若三点在同一条直线上，则的值为 .答案：（1）（2）-6解析：（1），易知当时，或故选C.（2）三点共线， .解题感悟用斜率公式解决三点共线的方法迁移应用1.（2021四川棠湖中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知三点共线，则的值为(      )A.-2B.C. D.2答案：解析：（1，0），，三点共线，即解得故选C.2.（2021河北尚义第一中学高二期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是(      )A. B.C. D.答案：解析：易知，因为，所以，结合正切函数的性质，可得．评价检测·素养提升课堂检测1.下面选项中，由两点确定的直线的斜率不存在的是(     )A.与 B.与C.与 D.与答案：2.若过两点的直线的倾斜角为，则的值为(     )A. B. C.-3D.3答案：3.若直线经过点（1，2）和点（0，1），则它的倾斜角是(      )A. B.C.或 D.答案：4.若三点共线，则的值为．答案：素养演练直观想象——利用数形结合的方法求分式的最值1.已知实数满足，且，求的最大值和最小值.答案：由题意得点满足关系式且可表示为点在线段上移动，并且A，B两点的坐标分别为，如图所示，由于的几何意义是直线的斜率，且，所以的最大值为2，最小值为 .素养探究：由斜率公式，可知的几何意义是过与两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来解决此类最值问题，在此过程中体现了直观想象的核心素养.