2020-2021学年2.2.2 直线的方程第1课时导学案

第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线的方程与方程的直线

一般地,如果直线上点的坐标都是方程的解,而且以方程的解为① 坐标的点都在直线上,则称② 为直线的方程,而直线称为方程的直线.此时,为了简单起见,“直线”也可说成“直线 ”,并且记作 .

要点二直线的点斜式方程与斜截式方程

1.直线的点斜式方程

已知是直线上一点.

（1）如果直线的斜率不存在,则直线的方程为③ .

（2）如果直线的斜率存在且为 ,设为直线上不同于的点,则 ,即④ ,化简可得 .因为该方程由直线上一点和直线的⑤ 斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.

2.直线的截距

一般地,当直线既不是轴也不是轴时:若与轴的交点为 ,则称在轴上的截距为⑥ ;若与⑦ 轴的交点为 ,则称在轴上的截距为 .一条直线在轴上的截距简称为截距.

3.直线的斜截式方程

如果已知直线的斜率为 ,截距为 ,则意味着这条直线过了⑧ 这个点,从而可知直线的方程为 ,化简可得 ,上述方程由直线的斜率和⑨ 截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.

自主思考

1.“直线的方程与方程的直线”的定义中有两个条件,为什么不可以删掉一个?

答案：提示定义中的两个条件是判断一个方程是不是指定直线的方程,一条直线是不是所给定方程的直线的依据,缺一不可.从逻辑知识来看:第一个条件表示是直线的方程的必要条件,第二个条件表示是直线的方程的充分条件.因此,在判断或证明为直线的方程时,必须注意两个条件同时成立.

2.直线的点斜式方程应用的前提条件是什么?

答案：提示点斜式方程应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此形式写出直线的方程.

3.直线在轴上的截距或在轴上的截距是距离吗?

答案：提示不是.直线在轴上的截距或在轴上的截距是一个实数.

4.直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是的形式,二者有什么区别吗?

答案：提示当时,是一次函数;当时,不是一次函数,故一次函数可以看成一条直线的斜截式方程.

名师点睛

正确理解“直线的方程与方程的直线”的概念

（1）纯粹性：定义中的两个条件是轨迹性质的体现．条件“直线上点的坐标都是方程的解”,阐明直线上没有坐标不满足方程的点,也就是说直线上所有的点都符合这个条件,无一例外;

（2）完备性：条件“以方程的解为坐标的点都在直线l上”,阐明符合方程的点都在直线上.

互动探究·关键能力

探究点一直线的点斜式方程

精讲精练

例已知在平面直角坐标系中,位于第一象限,且 ,求：

（1）边所在直线的方程;

（2）边与边所在直线的方程．

答案：（1）如图所示,

因为所以轴,所以边所在直线的方程为 .

（2）因为所以所以边所在直线的方程为 .

因为所以所以所在直线的方程为 .

解题感悟

（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点 →定斜率 →写出方程 .

（2）点斜式方程可表示过点的所有直线,但除外.

迁移应用

1.

求满足下列条件的直线的点斜式方程.

（1）过点 ,斜率 ;

（2）过点 ,且与轴平行;

（3）过两点;

（4）过点(-1,2)且直线的一个方向向量为 .

答案：（1）直线过点 ,斜率 ,直线的点斜式方程为 .

（2）与轴平行的直线的斜率直线的点斜式方程为 ,即 .

（3）过点的直线的斜率 .

又直线过点 ,直线的点斜式方程为 .

（4）直线的一个方向向量为 ,

,

故直线的点斜式方程为 .

探究点二直线的斜截式方程

精讲精练

例根据下列条件求直线的斜截式方程.

（1）斜率为2,在轴上的截距是5;

（2）倾斜角为 ,在轴上的截距是-2;

（3）倾斜角为 ,与轴的交点到坐标原点的距离为3.

答案：（1）由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为 .

（2）倾斜角为斜率 .

由斜截式可得直线方程为 .

（3）直线的倾斜角为斜率 .

直线与轴的交点到原点的距离为3,

直线在轴上的截距或 .

所求直线方程为或 .

变式在本例（2）中,把条件“倾斜角为 ”改为“直线的一个法向量为 ”,其余条件不变,求直线的方程.

答案：因为直线的一个法向量为 ,所以直线的一个方向向量为 ,

所以所求直线的斜率为2,由斜截式可得直线方程为 .

解题感悟

求直线的斜截式方程的策略

（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.

（2）直线的斜截式方程中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.

迁移应用

1.已知直线的倾斜角为 ,在轴上的截距为2,则此直线的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为直线的倾斜角为 ,在轴上的截距为2,

所以该直线的斜率 ,且该直线过点(2,0),所以该直线的方程为 .

2.过点且斜率为2的直线在轴上的截距是(      )

A.4B.-4C.8D.-8

答案：

解析：由题意可知,所求直线的方程为 ,即 ,

故所求直线在y轴上的截距为-8.

探究点三直线过定点问题

精讲精练

例证明：对任意的实数 ,直线：总过第三象限.

答案：证明证法一：可化为 ,所以直线l过定点(-2,-7),

由于点(-2,-7)在第三象限,故直线总过第三象限.

证法二：直线的方程可化为 ,

令解得 ,即直线过定点(-2,-7),

由于点(-2,-7)在第三象限,所以对任意的实数 ,直线总过第三象限.

解题感悟

求定点的方法有两种：

①将直线方程化成点斜式,由点斜式方程观察得到定点;

②将看成参数的系数,变形整理后,对参数取任意的值,式子都成立,从而转化为方程组,求的值,由确定的点就是“定点”.

迁移应用

1.对任意的 ,直线都经过的象限为(      )

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：

解析：易知是直线的点斜式方程,该直线经过定点(1,-2),由于点(1,-2)在第四象限,故直线过第四象限,故选D.

2.直线必过定点 .

答案：(3,2)

解析：将直线方程变形为 ,由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).

评价检测·素养提升

课堂检测

1.已知直线方程为 ,则(     )

A.直线经过(-1,2),斜率为-1

B.直线经过 ,斜率为-1

C.直线经过(-1,-2),斜率为-1

D.直线经过(-2,-1),斜率为1

答案：

2.直线l的斜率是3,且过点 ,则直线l的方程为(      )

A. B.

C. D.

答案：

3.在轴上的截距为2,且斜率为-3的直线的方程为．

答案：

素养演练

直观想象——斜截式方程的几何意义

1.

直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图像只可能是(     )

A.  B.

C.  D.

答案：

解析：对于 ,由直线可知 ,由直线知矛盾,故A错.

对于 ,由直线可知由直线可知矛盾,故B错.

对于 ,由直线可知 ,由直线可知 ,矛盾,故C错.

对于 ,由直线可知由直线可知故D对.故选D.

素养探究：本题主要考查了直线方程的图像判定,对各选项中直线的斜率a和截距的正负进行讨论即可,在此过程中体现了直观想象的核心素养.