高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程学案及答案

圆的一般方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

1.圆的一般方程

一般地，圆的标准方程为可以化为 .在这个方程中，如果令 ① ，则这个方程可以表示成的形式，其中都是常数。形如式的圆的方程称为圆的一般方程.

2.二元二次方程表示圆的条件

（1）当时，方程是以② 为圆心，为半径的圆的方程；

（2）当时，满足方程的实数只有 ③ ，，所以原方程不是圆的方程；

（3）当 ④ 0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.

自主思考

1.方程表示圆吗？

答案：提示不表示圆，方程可化为，故不表示圆，表示点(1,-2).

2.若二元二次方程表示圆，需满足什么条件？

答案：提示 ①，②，③ .

名师点睛

1.圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点

①和的系数相等且不为0；②没有xy项；③．

2.圆的一般方程中有三个系数，且必须满足的条件，确定圆的一般方程，需要确定三个未知数，这说明确定一个圆需要三个独立的条件.

3.在求圆的方程时，尽量运用圆的几何性质求解，这样可以大大减少计算量．

一般地，圆心的重要几何性质为：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在某条弦的中垂线上.

互动探究·关键能力

探究点一圆的一般方程的概念

精讲精练

例判断方程能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．

答案：解法一：由方程可知，，

，

当时，它表示一个点；

当时，它表示圆，此时，圆的圆心为，半径．

解法二：原方程可化为，

当时，它表示一个点；

当时，它表示圆，此时，圆的圆心为，半径 .

解题感悟

形如的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：

①由圆的一般方程的定义判断是否大于零．若，则方程表示圆，否则不表示圆；

②将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.

迁移应用

1.若方程表示圆，则的取值范围是(     )

A. B.

C. D.

答案：B

解析：方程表示圆，

，解得 .

2.（多选）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是(      )

A.圆的圆心坐标为(-4,3)

B.圆被轴截得的弦长为8

C.圆的半径为5

D.圆被轴截得的弦长为6

答案：B; C; D

解析：圆的方程可化为，故圆心坐标为(4,-3)，半径为5，故A中说法错误，C中说法正确；

令，得或，则圆被x轴截得的弦长为8，故B中说法正确；

令，得或，则圆被y轴截得的弦长为6，故D中说法正确.

探究点二求圆的一般方程

精讲精练

例已知点 .

（1）求的外接圆的一般方程；

（2）若点在的外接圆上，求的值.

答案：（1）设的外接圆的一般方程为，

由题意，得解得即的外接圆的一般方程为 .

（2）由（1）知，的外接圆的方程为，

点在的外接圆上，

，

即，解得或 .

变式若本例中将“点 ”改为“圆过两点且圆关于直线对称”，其他条件不变，求圆的方程.

答案：易知，线段的中点坐标为，

线段的垂直平分线方程为 .

联立解得

即圆心的坐标为，

半径，

圆的方程为 .

解题感悟

应用待定系数法求圆的方程时应注意：

（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程，那么一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 .

（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，那么一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 .

迁移应用

1.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为(      )

A.

B.

C.

D.

答案：

解析：因为线段的中点坐标为(2,4)，所在直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，与直线的方程联立，解得圆心坐标为(3,3).又圆的半径，所以圆的方程为，即 .

2.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .

答案：

解析：设圆的方程为，代入三点坐标，

得解得，即圆的方程为 .

探究点三圆的一般方程的综合应用

精讲精练

例已知一圆过，两点，且在轴上截得的弦长为，求圆的方程.

答案：设圆的方程为，①

将的坐标分别代入①，

得

令，由①得，④

由题意得，其中是方程④的两根.则，，

.⑤

由②③⑤，解得或经检验均符合题意，故所求的方程为或 .

解题感悟

解决圆与坐标轴相交的有关题目时，分别令，，就可求得圆与轴、轴的交点的纵坐标、横坐标，但一般不直接求解，而是利用根与系数的关系解决问题.

迁移应用

1.已知圆过点，，且在轴上截得的弦长为6，则圆的方程是 .

答案：或

解析：设圆的方程为，

①，

②，

令，得 .

设圆与轴的两个交点的横坐标分别为，，则，，

，即 ③，

由①②③，解得，，或，，，

圆的方程为或 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.圆的圆心坐标是(     )

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(-2,-3)D.(2,-3)

答案：

2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围为 (     )

A. B.

C. D.

答案：

3.已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，则，的值分别为 .

答案：2，-4

素养演练

逻辑推理——与圆有关的轨迹问题

1.已知一曲线是与两个定点的距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.

答案：设是曲线上的任意一点，由题意及两点间的距离公式知，

化简得 .当，即或时，，

.

，所求曲线的方程是，

则曲线表示以为圆心，以为半径的圆.

当，即时，方程变为，即，表示线段的垂直平分线.

素养探究：本题考查与圆有关的轨迹问题，可直接利用条件列出动点满足的关系式，化简即可.体现了逻辑推理的核心素养.