湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.3 向量的数乘教案设计

1．3 向量的数乘

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？

[问题] 类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？

三、合作探究

知识点一　向量的实数倍及数乘运算律

1．向量的数乘：求向量的实数倍的运算称为向量的数乘，一般地实数λ与向量a的乘积是一个向量记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ|·|a|．

(1)当λ≠0，且a≠0时，λa的方向当λ＜0时，与a反向；当λ＞0时，与a同向，

(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.   

2．数乘运算律

设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则

(1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya；

(2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a；

(3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb．

1．实数与向量可以相乘，同样实数与向量能相加、减吗？

2．向量的线性运算的结果是实数还是向量？

知识点二 共线向量

1．定义：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b.

2．共线向量定理

两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝或a＝．

3．向量a，b的夹角

设a，b是两个非零向量，任选一点O，作―→OA＝a，―→OB＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB＝θ称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

若向量a是非零向量，则向量|a|a与向量a的方向如何？

四、精讲点拨

[例1] (1)化简下列各式：

①3(6a＋b)－9b1；

②21b1－2b3.

(2)设x是未知向量，解方程3x－2(x－a)＝0.

[例2] (链接教科书第19页例5)如图所示，四边形OADB是以向量―→OA＝a，―→OB＝b为邻边的平行四边形．又BM＝31BC，CN＝31CD，试用a，b表示―→OM，―→ON，―→MN.

[母题探究]

1．(变设问)本例条件不变，试用a，b表示―→AM.

2．(变条件)若本例中的条件“―→OA＝a，―→OB＝b”换为“―→OD＝a，―→AB＝b”，其结论又如何呢？

[例3] (链接教科书第19页例4)设a，b是不共线的两个非零向量．

(1)若―→OA＝2a－b，―→OB＝3a＋b，―→OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；

(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．

五、达标检测

1．下列运算正确的个数是(  )

①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.

A．0  B．1

C．2  D．3

2.21a＋b＋23a－4b等于(  )

A．2a＋3b  B．a－3b

C．2a－3b  D．2a－2b

3．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若―→AB＝a，―→AC＝b，则―→AM等于(　　)

A.21(a－b)  B．－21(a－b)

C.21(a＋b)  D．－21(a＋b)

4．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.

六、课堂小结

   1.用已知向量表示未知向量;

   2.共线(平行)向量定理及应用;

   3.共线(平行)向量定理及应用.

  课后作业

教后反思

教学札记

教学札记