高中数学人教版新课标B选修2-21.1.3导数的几何意义教学设计

情境一：如图，观察图中当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势

问题1：当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线逐渐趋近于哪个位置？这个位置有什么特点？（得出切线定义）

问题2：这个切线的定义与以前我们学过的切线定义有何不同？（可引导学生从交点个数上进行分析）

问题3：割线的斜率如何表达？切线PT的斜率如何表达，它们有何关系？

（容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率）

情境二：联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率，与这节课的割线斜率和切线斜率进行类比，从而发现知识间的相互关系再进一步得到导数的几何意义

平均变化率瞬时变化率

割线的斜率切线的斜率

问题1：已知曲线上两点，

求：(1)结合两点坐标，割线的斜率可表示为什么？（）

（2）结合，割线→切线PT，则切线PT的斜率可表示为什么？（）

问题2：你能发现导数的几何意义吗？

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即

情境三  典例探究（课本例2）

如右图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．

问题1：用图形体现，的几何意义。

问题2：导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？

问题3：运用导数的几何意义，描述在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。

变式：在附近呢？

此处要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”的思想方法。

从中小结出:

1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负;

2.增减快慢-----导数的绝对值大小----过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该点附近的陡峭程度。

情境四：随的变化，函数值也在不断变化，但一旦确定，则函数值也随之确定下来而且是唯一的，这符合了函数的定义，那么这个新的函数有什么特殊的名字吗？

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即：

（注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数）

【典型例题】求函数在点P处的切线方程.

问题3：你能归纳总结出求切线方程的一般步骤吗？

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程

变式研究：若把“在处”改为“过点P”的话,结果如何？

习题设计：

1. 已知曲线上的两点A（2，3），，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是____，曲线在点A处的切线方程是_______。      （知识点1，易）

2.曲线在点处的切线方程为（    ）                  （知识点2，易）

A．  B．  C． D．

3函数在处的导数的几何意义是（   ）         （知识点3，易）

A在点处的函数值   B在点处的切线与轴所夹锐角的正切值

C曲线在点处的切线的斜率D点与点（0，0）连线的斜率.

4.已知曲线在点P（1，4）处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为

A  或     B   

C   或    D   以上都不对              （知识点3，中）

5. 若，则＝（   ）            （知识点3，难）

A  -3      B  -6      C  -9     D  -12