黑龙江省大庆市实验中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学含解析

2021-2022学年度下学期开学考试高二

数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列导数运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．双曲线的离心率为，则（   ）

A． B． C． D．2

3．函数在上的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．

4．等差数列的前11项和，则（     ）

A．9 B．10             C．11           D．12

5．已知点在圆内部，则直线与圆的公共点有（     ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个

6．等比数列的前项和为，若，则（     ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

7．若圆上总存在两个点到坐标原点的距离为1，则实数的取值范围是（     ）

A． B．        C．      D．

8．若，则等于（       ）

A．－3 B．3 C．－6 D．6

9．已知数列满足，则数列的前10项和是（       ）

A． B． C． D．

10．设函数的导函数是，且恒成立，则（       ）

A． B． C．  D.

11．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Mn表示它的前n项之积，即Mn＝a1·a2·a3…an，则数列{Mn}中的最大项是(　　)

A．M9   B．M10            C．M11          D．M8

12．已知函数,为的导函数,有下述四个结论:

①对于任意的,恒有

②方程有两实根,则

③若方程有两实根,若,则

④若方程有两实根,则

其中,正确的结论有(    )个

A.         B.          C.        D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若数列满足，且，则　　　　　．

14．已知是函数的极值点，则实数的值为_______．

15．已知抛物线,过焦点的弦,过分别作抛物线的切线,两切线交点的横坐标为,则直线的斜率为　　  　．

16．已知一质点从原点出发，每秒运动一个单位，第一秒沿x轴正向动，运动到P1后再向上运动两秒到P3，再向左运动3秒到P6，再向下运动4秒到P10，，依次进行下去.设第秒末质点运动到．则点的坐标为　　   　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令，求数列{bn}的前n项和Sn.

18．已知函数，其导函数为，且.

（1）求曲线在点处的切线方程.

（2）求函数在上的最大值和最小值.

19．已知数列{an}满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)．

(1)求证：数列{}是等差数列；

(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.

20．已知函数．

（1）若在处的切线过点，求的值；

（2）若恰有两个极值点，，求的取值范围．

21．已知点，直线，为平面上的动点，过作直线

的垂线，垂足为点，且．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设直线与轨迹C交于两点，在轨迹C上是否存在一点C，使得直线AC与直线BC的斜率之和与无关，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

22.已知函数,

(1)函数的单调区间;

(2) 求的最小值;

(3)若恒成立,求实数的取值范围.

参考答案:

1．C

【解析】，错误，

为常数，，错误，

，正确，

，错误，

故选：．

2.【解析】因为双曲线，所以

因为的离心率为，所以，

故选：C

3.B【解析】因为，

当时，，即函数在上单调递减，

故当时，函数有最小值为.故选：B.

4．D【解析】：由是等差数列，得，解得，

所以．

故选：．

5．A【解析】

因为点在圆内部，所以，

圆的圆心到直线的距离，

所以圆与直线相离，没有公共点.

故选:A.

6．A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；

当时，等比数列前项和公式，

依题意.

故选：A

7．D【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆，

因此圆上总存在两个点到原点的距离均为

转化为圆与圆有两个交点，

∵两圆的圆心和半径分别为，，，，

∴，∴，

解得实数的取值范围是.

故选：D

8．D【解析】由，

即，

9．B【解析】因为，

所以时，，

两式相减得，，

又，满足此式，所以，

，

所以数列的前10项和为．

故选：B．

10．C【解析】

设，则恒成立，所以单调递增，故，即，解得：，即.

故选：C

11.A[解析]　由题设an＝512·(－)n－1.∴Mn＝a1·a2·a3…an＝[512×(－)0]×[512×(－)1]×[512×(－)2]×…×[512×(－)n－1]

＝512n×(－)1＋2＋3＋…＋(n－1)

 [点评]　此题若直接用列举法可很简明求解：

a1＝512，a2＝－256，a3＝128，a4＝－64，a5＝32，a6＝－16，a7＝8，a8＝－4，a9＝2，a10＝－1，

当n≥11时，|an|<1，又M9>0，M10<0，∴M9最大．

12.B解析:

,①错误

的最小值为,,②正确

易知,知③正确

由知④正确

13. 【解析】4

14.【解析】由，得．

因为是的极值点，所以，即，所以．

此时，当时，；当时，．

因此是函数的极小值点，即符合题意．

15.解:设点,

故直线,化为,则理直线

两式相减,得,直线的斜率为

16．解（1），当质点运动到Mn（）后，向下运动个单位，再向右运动个单位，再向上运动个单位，再向左运动个单位，到点Mn+1,易知Mn+1(),由此可知，当质点运动秒后，其坐标为，若Pk的坐标为(20,20)，此时，故=780.

(2)因，由63=知2016秒末质点位于,于是的坐标为．

17.解　(1)∵数列{an}是等差数列，由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，

∴a2＝4，又a1＝2，∴公差d＝2.

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)bn＝32n＝9n，

＝＝9，

∴数列{bn}是等比数列，首项为9，公比q＝9.

∴数列{bn}的前n项和

Sn＝＝(9n－1)．

18.【解析】（1）因为函数，所以，

由，得，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）由（1）可知，

当时，，当时，，

所以在单增，在单减.所以，

又，，，所以，

所以，在上的最小值是，最大值是.

19.解析:　(1)∵当n≥2时，an－2an－1－2n－1＝0，

∴－＝，

∴{}是以为首项，为公差的等差数列．

(2)由(1)，得＝＋(n－1)×，

∴an＝n·2n－1，

∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1                        ①

则2Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n                         ②

①－②，得

－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n

＝2n－1－n·2n，

∴Sn＝(n－1)·2n＋1.

20.【解析】（1）定义域为，，

则，，

在处的切线方程为，

又切线过，，解得：.

（2）由（1）知：，

令，则，

①当，即时，恒成立，在上恒成立，

此时在上单调递增，无极值，不合题意；

②当，即或时，

令，解得：，，

⑴若，则，，在上恒成立，

在上恒成立，

此时在上单调递增，无极值，不合题意；

⑵若，则，

当和时，；当时，；

在和上单调递增，在上单调递减，

恰有两个极值点，符合题意；

综上所述：的取值范围为.

21解.（Ⅰ）设点，则，由得：

化简得                       

（Ⅱ）设点，则有

故

设存在点满足题设要求，则

设为定值，即

故

因为常量，为变量，故

从而有，代入方程得，于是点为.

而当时，直线恰好经过点C，此时点A、B与C重合，故此时结论不成立.

综上，当时，不存在满足要求的点；时，存在点.

22.解析: (1),时, ,在单调递减;

时, ,在单调递增

故的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)令,,知

令,则

时, ,在单调递减;

时, ,在单调递增

时,

故时, ,单调递减;故时, ,单调递增

故的最小值为.

(3)由(2)知,而

当时,,不符合题意

当时,

由(2)知,故时,恒成立.