2020-2021学年2.5.2 椭圆的几何性质课堂检测

课时分层作业(二十)　椭圆的几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)

A．＋＝1　　　 B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

D　[由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，

∴b2＝62－22＝32，

∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋＝1．]

2．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为(　　)

A．   B．

C．   D．

A　[由题意得2a＝＝8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，∴c＝＝2 cm，∴e＝＝．故选A．]

3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为   (　　)

A．9   B．1

C．1或9   D．以上都不对

C　[解得a＝5，b＝3，c＝4．

∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1．]

4．若椭圆＋＝1(其中a＞b＞0)的离心率为，两焦点分别为F1、F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

D　[由题意知2a＋2c＝16．又e＝＝，所以a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆方程为：＋＝1．]

5．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左右焦点，M为椭圆上一点，若满足△MF1F2内切圆的周长等于3π的点M恰好有两个，则a2＝(　　)

A．20   B．25

C．36   D．48

B　[设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得：2πr＝3π，

∴r＝，由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a，

又c2＝a2－b2＝a2－16，

∴c＝，由满足条件的点恰有两个，知M是椭圆的短轴顶点．

即|yM|＝4，S△MF1F2＝·2c·|yM|＝4．

又△MF1F2的面积为(|MF1|＋|MF2|＋2c)·r＝(a＋c)·r＝(a＋)，

由(a＋)＝4得a2＝25．]

二、填空题

6．如果方程＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是        ．

＜m＜5　[由题意方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

可得m－4＞0,5－m＞0，并且m－4＞5－m，

解得＜m＜5．]

7．已知椭圆W：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两点A(0，0)、B(2,0)．若椭圆W上存在点C，使得△ABC为正三角形，则椭圆W方程为        ．

＋＝1　[因为A(0,0)、B(2,0)，且△ABC为正三角形，所以根据正三角形的性质可得点C(1，)或(1，－)，

又∵点C在椭圆W上，∴＋＝1，

∴解得

∴椭圆W的方程为＋＝1．]

8．若椭圆＋＝1上一点到两焦点的距离之和为m－3，则m的值为        ．

9　[若椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝2，由题意知，2a＝m－3＝4，

∴m＝7，由4＞m知m＝7(舍去)；

若焦点在y轴，有m＞4，则a＝，由2a＝m－3＝2，得m＝9或m＝1(舍去)．]

三、解答题

9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将△ABC的三个内角记作A、B、C，且满足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，求椭圆的离心率．

[解]　因为3tan A＋3tan B＋tan C＝0可得＋＝，即＝，

而在三角形中，sin Acos B＋cos Asin B＝sin (A＋B)≠0，所以上式可得3cos (A＋B)－cos Acos B＝0

而cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，

所以可得2cos Acos B＝3sin Asin B，即tan A·tan B＝，

由题意可得A(－a,0)，B(a,0)，设C(x0，y0)，

可得＋＝1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：

在△ACD中，tan A＝，

在△BDC中，tan B＝，

所以tan A·tan B＝·＝＝＝，

所以可得＝，

所以离心率e＝＝＝＝．

10．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

[解]　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．

所以a＝c，e＝＝．

(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．

其中，c＝，设B(x，y)．

由＝2⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，

解得x＝，y＝－，即B．

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1，

解得a2＝3c2．  ①

又由·＝(－c，－b)·＝⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1．   ②

由①②解得c2＝1，a2＝3，

从而有b2＝2．

所以椭圆方程为＋＝1．

11．已知椭圆＋＝1的离心率为e＝，则m的值为(　　)

A．5   B．4

C．或3   D．8

C　[由椭圆的标准方程，易知m＞0且m≠5．

①若0＜m＜5, 则a2＝5，b2＝m．

由＝1－＝，得m＝3．

②若m＞5，则a2＝m，b2＝5．

由＝1－＝，得m＝．

所以m的值为3或．]

12．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1、F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是(　　)

A．椭圆C的方程为＋x2＝1

B．椭圆C的方程为＋y2＝1

C．|PQ|＝

D．△PF2Q的周长为4

ACD　[由已知得2b＝2，b＝1，＝，

又a2＝b2＋c2解得a2＝3．

∴椭圆方程为x2＋＝1，又|PQ|＝＝＝．

△PF2Q的周长为4a＝4．]

13．(一题两空)如图，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为        ．若a＝3，则圆面积为        ．

　4π　[由题意知OQ垂直平分PF2．

所以|PO|＝|OF2|＝c．

又O为F1F2的中点，Q为PF2的中点，所以PF1∥OQ，∴PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|OQ|＝2b，∴|PF2|＝＝＝2．

由椭圆的定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2b＋2，即a－b＝，两边平方整理可得3b2＝2ab，

∴3b＝2a，∴9b2＝4a2，∴9(a2－c2)＝4a2，

即5a2＝9c2，∴a＝3c，∴e＝＝．

由a＝3结合上述解法知，3b＝2a，

∴b＝2，∴圆的半径为2，S＝π×22＝4π．]

14．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝        ．

12　[如图令MN的中点为Q，易得|AN|＝2|QF1|，

|BN|＝2|QF2|，

∵Q在椭圆C上，

∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝6，

∴|AN|＋|BN|＝12．]

15．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为．

(1)求椭圆G的方程；

(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．

[解]　(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，

于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a．

所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，解得a＝2，b＝1．

所以椭圆G的方程为＋y2＝1．

(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)．

由于直线l与圆O相切，

则圆心O到l的距离d＝＝1，

即k2t2＝k2＋1，　①

联立

化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．

设Q(x0，y0)，有解得x0＝．

由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0．

因此＝t＋，化简得k2＝，

将其代入①式，可得t＝±．