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人教B版 (2019)7.3.3 余弦函数的性质与图修学案及答案
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这是一份人教B版 (2019)7.3.3 余弦函数的性质与图修学案及答案，共13页。
7．3.3 余弦函数的性质与图像
[课程目标] 1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间和最值．
2．会用“五点法”、“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
[填一填]
1．余弦函数的性质
2.余弦函数的图像
把正弦函数y＝sinx的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cosx的图像，该图像叫做余弦曲线．
[答一答]
1．怎样得到余弦函数的图像？
提示：(1)描点法：按照①列表，②描点，③连线的顺序作图．
(2)平移法：由y＝cosx＝sin，x∈R知，余弦函数y＝cosx的图像与正弦函数y＝sin的图像相同，于是只要把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图像．
(3)五点法：观察余弦函数的图像可以看出，下面五个点在确定余弦函数图像形状时起着关键的作用，(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cosx(x∈[0,2π])的图像形状就基本确定了，然后再把这一段的图像向左向右延伸，即得y＝cosx在R上的图像．
2．怎样求含有三角函数式的函数值域？
提示：到目前为止，运用所学知识可以求解的类型主要有：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)型，值域为[－A，A](A>0)．
(2)y＝或y＝型，解决这类问题的常用方法：反解sinx(或cosx)，得到sinx＝f(y)(或cosx＝f(y))，再利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1)，列出|f(y)|≤1，解出y的范围，即为所求函数的值域．
(3)y＝型，一般用数形结合法求解．
(4)y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)型，可以通过配方法转化为二次函数在区间sinx∈[－1,1]上的最值求解．
(5)y＝sinx＋(a>0)型，转化为利用函数y＝x＋(p>0)型函数值域(最值)，即利用函数的单调性．
类型一 余弦函数的定义域和值域
[例1] (1)求f(x)＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－2cosx－1；
②y＝；
③y＝cos2x－3cosx＋2.
[解] (1)由2cosx－1≥0知cosx≥，
作出y＝cosx在x∈[－π，π]的图像知
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴定义域为.
(2)①∵－1≤cosx≤1，
∴－2≤－2cosx≤2，
∴－3≤－2cosx－1≤1.
∴函数y＝－2cosx－1的值域为[－3,1]．
②由y＝可得(1－2y)cosx＝y，
cosx＝，
∵|cosx|≤1，∴cos2x≤1，
∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，
∴y≤或y≥1.
∴函数y＝的值域为∪[1，＋∞)．
③令t＝cosx，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．
∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝2－，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t＝，
∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．
∴t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0.
∴函数y＝cos2x－3cosx＋2的值域为[0,6]．
(1)求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图像.
(2)与余弦函数有关的值域的求法.
①直接法.利用y＝cosx的有界性或已知x的范围求y＝cosx的值域.
②反解法.也是利用有界性，但是要把函数反解成cosx＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的范围.
③换元法.令t＝cosx，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等.
[变式训练1] 求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝；
(2)y＝2cos，x∈.
解：(1)方法一：y＝＝2＋，
∵－1≤cosx≤1，
∴－5≤≤－，－3≤2＋≤，
∴ymax＝，ymin＝－3.
方法二：由y＝，解得cosx＝.
∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，
解得－3≤y≤.
∴ymax＝，ymin＝－3.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴－1≤2cos≤2，
当cos＝1，即x＝－时，ymax＝2，
当cos＝－，即x＝时，ymin＝－1.
类型二 余弦函数的性质
命题视角1：余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin(cosx)；(2)f(x)＝.
[分析] 先写出函数定义域，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，若定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数．
[解] (1)定义域为R，
f(－x)＝sin(cos(－x))＝sin(cosx)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵cos＝cos＝－sinx.
∴f(x)＝.
∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x≠2kπ－(k∈Z)．
∴定义域为.
不关于原点对称，∴原函数为非奇非偶函数．
1.复合函数y＝f(g(x))的奇偶性.
y＝f(t)与t＝g(x)只要有一个为偶函数，则y＝f(g(x))为偶函数.
y＝f(t)与t＝g(x)二者均为奇函数，则y＝f(g(x))为奇函数.
2.判断函数奇偶性时，应先确定定义域的对称性，然后化简，最后判断.
[变式训练2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝＋；
(2)f(x)＝sin.
解：(1)由⇒cosx＝1.
∴x＝2kπ(k∈Z)．
∴定义域关于原点对称，而此时y＝0.
∴y＝＋既是奇函数又是偶函数．
(2)因为f(x)＝sin＝－cosx，其定义域为R，所以f(－x)＝－cos＝－cosx＝f(x)，所以函数f(x)＝sin为偶函数．
命题视角2：余弦函数的周期
[例3] 求下列函数的周期：
(1)y＝－2cos；
(2)y＝cos3x＋sin2x.
[解] (1)y＝－2cos＝－2cos，
∴函数周期T＝＝4π；
(2)y1＝cos3x的周期T1＝，
y2＝sin2x的周期T2＝＝π.
因为T1＝，T2＝的最小公倍数是，
所以T＝＝2π.
(1)一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝.今后，可以使用这个公式直接求这个函数的周期．
(2)两个三角函数和(或差)的周期．
如果f(x)周期为T1，φ(x)周期为T2，T1与T2的“最小公倍数”为T，则F(x)＝f(x)±φ(x)的周期为T.
如f(x)＝sin(－3x)＋cosx，sin(－3x)周期为，cosx周期为，与的“最小公倍数”为，故所求函数的最小正周期为.
分数与(m、n、p、q∈N*)的“最小公倍数”求法是先通分，然后求分子的最小公倍数k，则以最简公分母为分母，以k为分子的分数为“最小公倍数”．如与的“最小公倍数”为：＝2π.
[变式训练3] 求下列函数的周期．
(1)y＝3cos；
(2)y＝2cos.
解：因为y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为T＝.
所以(1)T＝＝.
(2)T＝＝π.
命题视角3：余弦函数的对称轴与对称中心
[例4] 求下列函数图像的对称轴、对称中心：
(1)y＝2cos；
(2)y＝cos.
[解] (1)由x＋π＝kπ＋(k∈Z)得x＝3kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝2cos的图像的对称中心为(k∈Z)．
由x＋π＝kπ(k∈Z)得x＝(3k－1)π(k∈Z)．
所以函数y＝2cos的图像对称轴为直线x＝(3k－1)π(k∈Z)；
(2)由3x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝π＋π(k∈Z)，
所以函数y＝cos的图像的对称中心为(k∈Z)．
由3x＋＝kπ(k∈Z)得x＝π－(k∈Z)，
所以函数y＝cos的图像的对称轴是直线x＝π－(k∈Z)．
关于函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称性：将ωx＋φ看作整体，代入到y＝cosx的对称中心，对称轴的表达式，可以求出函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心，对称轴.
[变式训练4] 已知函数y＝f(x)的图像和y＝sin关于点对称，则f(x)的表达式是( B )
A．y＝cos B．y＝－cos
C．y＝－cos D．y＝cos
解析：本题主要考查利用函数的对称性求解析式，设M(x，y)是所求函数y＝f(x)图像上任意一点，则点M关于点的对称点为M，代入已知函数解析式中有－y＝sin＝sin＝cos，则y＝－cos.
命题视角4：余弦函数的单调性
[例5] 求函数y＝cos的单调递增区间和周期．
[分析] 利用余弦函数的单调性和周期公式求解．
[解] 设u＝2x－，则u是x的增函数，
而y＝cosu在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
故当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)时，
y＝cos单调递增．
故函数y＝cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
周期T＝＝＝π.
对于y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间的求法，先将ωx＋φ看作一个整体，然后根据三角函数的单调性，确定x的范围即为所求单调区间.
[变式训练5] (1)函数y＝3－2cosx的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)函数y＝1＋cosx，x∈[－π，2π]的单调递增区间为[－π，0]，[π，2π]．
解析：(1)y＝3－2cosx与y＝3＋2cosx的单调性相反，
由y＝3＋2cosx的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
∴y＝3－2cosx的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)函数y＝1＋cosx的单调递增区间为[2kπ＋π，2π＋2kπ](k∈Z)，
∵[2kπ＋π，2π＋2kπ]∩[－π，2π]＝[－π，0]∪[π，2π]，
∴y＝1＋cosx的单调递增区间为[－π，0]，[π，2π]．
类型三 余弦函数性质的应用
[例6] 比较下列各数的大小：
(1)cos与cos；
(2)cos(－828°)与cos(－765°)．
[解] (1)cos＝cos，
因为0<<<π，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，
所以cos>cos，即cos>cos.
(2)cos(－828°)＝cos(－1 080°＋252°＝cos252°，
cos(－765°)＝cos(－1 080°＋315°)＝cos315°，
∵180°<252°<315°<360°，
且y＝cosx在[180°，360°]上为增函数，
∴cos252°
比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内，通过函数的单调性进行比较.
[变式训练6] 不求值，比较下列各对余弦值的大小：
(1)cos1 155°和cos(－1 516°)；
(2)cos与cos；
(3)cos与cos.
解：(1)cos1 155°＝cos(3×360°＋75°)＝cos75°，
cos(－1 516°)＝cos1 516°＝cos(4×360°＋76°)＝cos76°，
∵y＝cosx在[0，]上是递减的，
且0°<75°<76°<90°，
∴cos75°>cos76°，即cos1 155°>cos(－1 516°)．
(2)cos＝cos，
∵y＝cosx在[0，π]上是递减的，且0<<<π，
∴cos>cos，即cos
cos＝cos＝cos，
∵y＝cosx在[0，π]上是递减的，
且0<<<π，∴cos>cos，
即cos
[例7] 用“五点法”画函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图．
[分析] 解答本题先在[0,2π]上找出五个关键点，然后用平滑曲线连接即可．也可先画出y＝cosx在[0,2π]上的图像，再作关于x轴对称的图像．
[解] 方法一：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
－cosx
－1
0
1
0
－1
描点并用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
方法二：先用五点法画y＝cosx在[0,2π]上的图像，再作它关于x轴对称的图像(图略)．
“五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如平移、对称、翻折等.
[变式训练7] 画出函数y＝2＋cosx的简图．
(1)求函数的最大值与最小值并写出使此函数取得最大值与最小值的自变量x的集合．
(2)写出此函数的单调区间．
解：列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
y＝2＋cosx
3
2
1
2
3
描点画出图像(如图)．
由图像可知：
(1)当cosx＝1即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝2＋1＝3.
当cosx＝－1即x∈{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝2－1＝1.
(2)此函数的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，单调增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z.
类型五 余弦函数的图像变换
[例8] 函数y＝cos(2x－)的图像可由y＝sin2x的图像平移得到，若使平移的距离最短，则应( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[分析] 应尝试先统一三角函数的名称，然后再进行图像变换．
[解析] 方法一：∵y＝cos＝sin＝sin＝sin2，
∴只要将y＝sin2x的图像向左平移个单位即可．
方法二：y＝sin2x＝cos＝cos＝cos2，
y＝cos＝cos2，
而x－＋＝x－.
∴只要将y＝sin2x的图像左移个单位即可．
[答案] A
1.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换的方法与正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换的方法完全一致.
2.若所给函数的三角函数名称不统一，一般先用诱导公式进行函数名称的统一，然后再进行图像变换.
[变式训练8] 函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝.
解析：y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位得y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝sin＝sin，而它与函数y＝sin的图像重合，令2x＋φ－＝2x＋得，φ＝，符合题意．
1．要得到余弦函数y＝cosx，x∈R的图像，只要将正弦函数y＝sinx，x∈R的图像向右平移( C )
A.个单位长度 B．π个单位长度
C.π个单位长度 D．2π个单位长度
解析：y＝sin＝－cosx，∴A错；y＝sin(x－π)＝－sinx，∴B错；y＝sin＝cosx，∴C对；y＝sin(x－2π)＝sinx，∴D错．故选C.
2．函数y＝cos2x( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：∵cos(－2x)＝cos2x，且x∈R，∴y＝cos2x为偶函数．
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( A )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，
∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.
4．函数y＝－cos的单调递增区间是(k∈Z)．
解析：函数y＝－cos的单调递增区间，即函数y＝cos的单调递减区间，令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故该函数的单调递增区间为(k∈Z)．
7．3.3 余弦函数的性质与图像
[课程目标] 1.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间和最值．
2．会用“五点法”、“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．
[填一填]
1．余弦函数的性质
2.余弦函数的图像
把正弦函数y＝sinx的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cosx的图像，该图像叫做余弦曲线．
[答一答]
1．怎样得到余弦函数的图像？
提示：(1)描点法：按照①列表，②描点，③连线的顺序作图．
(2)平移法：由y＝cosx＝sin，x∈R知，余弦函数y＝cosx的图像与正弦函数y＝sin的图像相同，于是只要把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图像．
(3)五点法：观察余弦函数的图像可以看出，下面五个点在确定余弦函数图像形状时起着关键的作用，(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cosx(x∈[0,2π])的图像形状就基本确定了，然后再把这一段的图像向左向右延伸，即得y＝cosx在R上的图像．
2．怎样求含有三角函数式的函数值域？
提示：到目前为止，运用所学知识可以求解的类型主要有：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)型，值域为[－A，A](A>0)．
(2)y＝或y＝型，解决这类问题的常用方法：反解sinx(或cosx)，得到sinx＝f(y)(或cosx＝f(y))，再利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1)，列出|f(y)|≤1，解出y的范围，即为所求函数的值域．
(3)y＝型，一般用数形结合法求解．
(4)y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)型，可以通过配方法转化为二次函数在区间sinx∈[－1,1]上的最值求解．
(5)y＝sinx＋(a>0)型，转化为利用函数y＝x＋(p>0)型函数值域(最值)，即利用函数的单调性．
类型一 余弦函数的定义域和值域
[例1] (1)求f(x)＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－2cosx－1；
②y＝；
③y＝cos2x－3cosx＋2.
[解] (1)由2cosx－1≥0知cosx≥，
作出y＝cosx在x∈[－π，π]的图像知
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴定义域为.
(2)①∵－1≤cosx≤1，
∴－2≤－2cosx≤2，
∴－3≤－2cosx－1≤1.
∴函数y＝－2cosx－1的值域为[－3,1]．
②由y＝可得(1－2y)cosx＝y，
cosx＝，
∵|cosx|≤1，∴cos2x≤1，
∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，
∴y≤或y≥1.
∴函数y＝的值域为∪[1，＋∞)．
③令t＝cosx，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．
∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝2－，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t＝，
∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．
∴t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0.
∴函数y＝cos2x－3cosx＋2的值域为[0,6]．
(1)求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图像.
(2)与余弦函数有关的值域的求法.
①直接法.利用y＝cosx的有界性或已知x的范围求y＝cosx的值域.
②反解法.也是利用有界性，但是要把函数反解成cosx＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的范围.
③换元法.令t＝cosx，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等.
[变式训练1] 求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝；
(2)y＝2cos，x∈.
解：(1)方法一：y＝＝2＋，
∵－1≤cosx≤1，
∴－5≤≤－，－3≤2＋≤，
∴ymax＝，ymin＝－3.
方法二：由y＝，解得cosx＝.
∵－1≤cosx≤1，∴－1≤≤1，
解得－3≤y≤.
∴ymax＝，ymin＝－3.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴－1≤2cos≤2，
当cos＝1，即x＝－时，ymax＝2，
当cos＝－，即x＝时，ymin＝－1.
类型二 余弦函数的性质
命题视角1：余弦函数的奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin(cosx)；(2)f(x)＝.
[分析] 先写出函数定义域，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，若定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数．
[解] (1)定义域为R，
f(－x)＝sin(cos(－x))＝sin(cosx)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵cos＝cos＝－sinx.
∴f(x)＝.
∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x≠2kπ－(k∈Z)．
∴定义域为.
不关于原点对称，∴原函数为非奇非偶函数．
1.复合函数y＝f(g(x))的奇偶性.
y＝f(t)与t＝g(x)只要有一个为偶函数，则y＝f(g(x))为偶函数.
y＝f(t)与t＝g(x)二者均为奇函数，则y＝f(g(x))为奇函数.
2.判断函数奇偶性时，应先确定定义域的对称性，然后化简，最后判断.
[变式训练2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝＋；
(2)f(x)＝sin.
解：(1)由⇒cosx＝1.
∴x＝2kπ(k∈Z)．
∴定义域关于原点对称，而此时y＝0.
∴y＝＋既是奇函数又是偶函数．
(2)因为f(x)＝sin＝－cosx，其定义域为R，所以f(－x)＝－cos＝－cosx＝f(x)，所以函数f(x)＝sin为偶函数．
命题视角2：余弦函数的周期
[例3] 求下列函数的周期：
(1)y＝－2cos；
(2)y＝cos3x＋sin2x.
[解] (1)y＝－2cos＝－2cos，
∴函数周期T＝＝4π；
(2)y1＝cos3x的周期T1＝，
y2＝sin2x的周期T2＝＝π.
因为T1＝，T2＝的最小公倍数是，
所以T＝＝2π.
(1)一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝.今后，可以使用这个公式直接求这个函数的周期．
(2)两个三角函数和(或差)的周期．
如果f(x)周期为T1，φ(x)周期为T2，T1与T2的“最小公倍数”为T，则F(x)＝f(x)±φ(x)的周期为T.
如f(x)＝sin(－3x)＋cosx，sin(－3x)周期为，cosx周期为，与的“最小公倍数”为，故所求函数的最小正周期为.
分数与(m、n、p、q∈N*)的“最小公倍数”求法是先通分，然后求分子的最小公倍数k，则以最简公分母为分母，以k为分子的分数为“最小公倍数”．如与的“最小公倍数”为：＝2π.
[变式训练3] 求下列函数的周期．
(1)y＝3cos；
(2)y＝2cos.
解：因为y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为T＝.
所以(1)T＝＝.
(2)T＝＝π.
命题视角3：余弦函数的对称轴与对称中心
[例4] 求下列函数图像的对称轴、对称中心：
(1)y＝2cos；
(2)y＝cos.
[解] (1)由x＋π＝kπ＋(k∈Z)得x＝3kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝2cos的图像的对称中心为(k∈Z)．
由x＋π＝kπ(k∈Z)得x＝(3k－1)π(k∈Z)．
所以函数y＝2cos的图像对称轴为直线x＝(3k－1)π(k∈Z)；
(2)由3x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝π＋π(k∈Z)，
所以函数y＝cos的图像的对称中心为(k∈Z)．
由3x＋＝kπ(k∈Z)得x＝π－(k∈Z)，
所以函数y＝cos的图像的对称轴是直线x＝π－(k∈Z)．
关于函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称性：将ωx＋φ看作整体，代入到y＝cosx的对称中心，对称轴的表达式，可以求出函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心，对称轴.
[变式训练4] 已知函数y＝f(x)的图像和y＝sin关于点对称，则f(x)的表达式是( B )
A．y＝cos B．y＝－cos
C．y＝－cos D．y＝cos
解析：本题主要考查利用函数的对称性求解析式，设M(x，y)是所求函数y＝f(x)图像上任意一点，则点M关于点的对称点为M，代入已知函数解析式中有－y＝sin＝sin＝cos，则y＝－cos.
命题视角4：余弦函数的单调性
[例5] 求函数y＝cos的单调递增区间和周期．
[分析] 利用余弦函数的单调性和周期公式求解．
[解] 设u＝2x－，则u是x的增函数，
而y＝cosu在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
故当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)时，
y＝cos单调递增．
故函数y＝cos的单调递增区间是
(k∈Z)．
周期T＝＝＝π.
对于y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间的求法，先将ωx＋φ看作一个整体，然后根据三角函数的单调性，确定x的范围即为所求单调区间.
[变式训练5] (1)函数y＝3－2cosx的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)函数y＝1＋cosx，x∈[－π，2π]的单调递增区间为[－π，0]，[π，2π]．
解析：(1)y＝3－2cosx与y＝3＋2cosx的单调性相反，
由y＝3＋2cosx的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
∴y＝3－2cosx的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
(2)函数y＝1＋cosx的单调递增区间为[2kπ＋π，2π＋2kπ](k∈Z)，
∵[2kπ＋π，2π＋2kπ]∩[－π，2π]＝[－π，0]∪[π，2π]，
∴y＝1＋cosx的单调递增区间为[－π，0]，[π，2π]．
类型三 余弦函数性质的应用
[例6] 比较下列各数的大小：
(1)cos与cos；
(2)cos(－828°)与cos(－765°)．
[解] (1)cos＝cos，
因为0<<<π，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，
所以cos>cos，即cos>cos.
(2)cos(－828°)＝cos(－1 080°＋252°＝cos252°，
cos(－765°)＝cos(－1 080°＋315°)＝cos315°，
∵180°<252°<315°<360°，
且y＝cosx在[180°，360°]上为增函数，
∴cos252°
比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内，通过函数的单调性进行比较.
[变式训练6] 不求值，比较下列各对余弦值的大小：
(1)cos1 155°和cos(－1 516°)；
(2)cos与cos；
(3)cos与cos.
解：(1)cos1 155°＝cos(3×360°＋75°)＝cos75°，
cos(－1 516°)＝cos1 516°＝cos(4×360°＋76°)＝cos76°，
∵y＝cosx在[0，]上是递减的，
且0°<75°<76°<90°，
∴cos75°>cos76°，即cos1 155°>cos(－1 516°)．
(2)cos＝cos，
∵y＝cosx在[0，π]上是递减的，且0<<<π，
∴cos>cos，即cos
cos＝cos＝cos，
∵y＝cosx在[0，π]上是递减的，
且0<<<π，∴cos>cos，
即cos
[例7] 用“五点法”画函数y＝－cosx，x∈[0,2π]的简图．
[分析] 解答本题先在[0,2π]上找出五个关键点，然后用平滑曲线连接即可．也可先画出y＝cosx在[0,2π]上的图像，再作关于x轴对称的图像．
[解] 方法一：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
－cosx
－1
0
1
0
－1
描点并用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
方法二：先用五点法画y＝cosx在[0,2π]上的图像，再作它关于x轴对称的图像(图略)．
“五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如平移、对称、翻折等.
[变式训练7] 画出函数y＝2＋cosx的简图．
(1)求函数的最大值与最小值并写出使此函数取得最大值与最小值的自变量x的集合．
(2)写出此函数的单调区间．
解：列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
y＝2＋cosx
3
2
1
2
3
描点画出图像(如图)．
由图像可知：
(1)当cosx＝1即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝2＋1＝3.
当cosx＝－1即x∈{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝2－1＝1.
(2)此函数的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，单调增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z.
类型五 余弦函数的图像变换
[例8] 函数y＝cos(2x－)的图像可由y＝sin2x的图像平移得到，若使平移的距离最短，则应( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[分析] 应尝试先统一三角函数的名称，然后再进行图像变换．
[解析] 方法一：∵y＝cos＝sin＝sin＝sin2，
∴只要将y＝sin2x的图像向左平移个单位即可．
方法二：y＝sin2x＝cos＝cos＝cos2，
y＝cos＝cos2，
而x－＋＝x－.
∴只要将y＝sin2x的图像左移个单位即可．
[答案] A
1.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换的方法与正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换的方法完全一致.
2.若所给函数的三角函数名称不统一，一般先用诱导公式进行函数名称的统一，然后再进行图像变换.
[变式训练8] 函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝.
解析：y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位得y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝sin＝sin，而它与函数y＝sin的图像重合，令2x＋φ－＝2x＋得，φ＝，符合题意．
1．要得到余弦函数y＝cosx，x∈R的图像，只要将正弦函数y＝sinx，x∈R的图像向右平移( C )
A.个单位长度 B．π个单位长度
C.π个单位长度 D．2π个单位长度
解析：y＝sin＝－cosx，∴A错；y＝sin(x－π)＝－sinx，∴B错；y＝sin＝cosx，∴C对；y＝sin(x－2π)＝sinx，∴D错．故选C.
2．函数y＝cos2x( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：∵cos(－2x)＝cos2x，且x∈R，∴y＝cos2x为偶函数．
3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( A )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，
∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.
4．函数y＝－cos的单调递增区间是(k∈Z)．
解析：函数y＝－cos的单调递增区间，即函数y＝cos的单调递减区间，令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，解得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，故该函数的单调递增区间为(k∈Z)．
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