数学必修 第三册7.3.4 正切函数的性质与图修学案

7.3.4　正切函数的性质与图像

[课程目标] 1.掌握正切函数的性质会求正切函数的定义域、值域和周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．

2．会作出正切函数的简图，并能借助图像理解函数的性质．

[填一填]

1．正切函数的性质

2.正切函数的图像

根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈，利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出y＝tanx，x∈的图像，而后向左、右扩展，得y＝tanx，x∈R且x≠kπ＋(k∈Z)的图像，如图所示，y＝tanx的函数图像称为正切曲线．

[答一答]

1．有人说：正切函数在整个定义域内是增函数，这种说法对吗？

提示：这种说法不对，正切函数在某个单调区间上是增函数，在整个定义域上不是增函数，如x1＝，x2＝π时，显然x1<x2，但y1＝tan＝1，y2＝tanπ＝－，y1>y2，不符合增函数的定义．

2．怎样作正切函数的图像？

提示：由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z.知正切函数是周期函数，并且可以证明π是它的最小正周期．用单位圆上的正切线可作正切函数y＝tanx在开区间内的图像，如图(1)．根据正切函数的周期性，我们可以把图像向左、向右连续平移，得出y＝tanx，x∈，k∈Z的图像，我们把它叫做正切曲线，如图(2)．

类似于正弦函数、余弦函数的“五点法”作图，正切函数y＝tanx，x∈的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(0,0)，，.两线为直线x＝，直线x＝－.

正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的．

类型一　　　　正切函数的定义域和值域

命题视角1：正切函数的定义域

[例1]　求函数y＝的定义域．

[分析]　根据解析式有意义的条件，列出不等式组求解即可．

[解]　要使y＝有意义，

须满足

∴∴

∴原函数的定义域为.

1.此类问题常常归结为解三角不等式组问题，这时可以利用基本三角函数的图像或单位圆中的三角函数线直观地求解集.

2.解题时，函数y＝tanx本身的定义域极容易被忽视，遇到解析式中含tanx的题目时，一定要格外慎重.

[变式训练1]　求函数y＝tan的定义域．

解：由于y＝tanx的定义域为.

所以x＋≠kπ＋，即x≠kπ＋，k∈Z.

故函数y＝tan的定义域为.

命题视角2：正切函数的值域

[例2]　求函数y＝sinx＋tanx在的值域．

[分析]　先判断单调性，再利用单调性求出上的值域．

[解]　∵y＝sinx在上是增函数，y＝tanx在上也是增函数，

∴函数y＝sinx＋tanx在上是增函数．

∴当x＝－时，函数有最小值，

ymin＝sin＋tan＝－－1；

当x＝时，函数有最大值，

ymax＝sin＋tan＝＋1.

∴函数的值域为.

利用函数的单调性确定函数的值域是一种常用方法.若函数y＝fx在定义域[a，b]内为增减函数，则函数在定义域[a，b]内的最小大值为fa，最大小值为fb，函数的值域为[fa，fb][fb，fa].

[变式训练2]　求下列函数的值域．

(1)y＝tan，x∈；

(2)y＝tan2x＋4tanx－1.

解：(1)∵x∈，∴－≤x－<，

y＝tan在上为增函数，

且tan＝－1，

∴函数y＝tan，x∈的值域为[－1，＋∞)．

(2)令t＝tanx，则t∈R，y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，

∴函数y＝tan2x＋4tanx－1的值域为[－5，＋∞)．

类型二　　　　正切函数的性质

命题视角1：正切函数的奇偶性

[例3]　判断函数y＝lg的奇偶性．

[解]　由>0，得tanx>1或tanx<－1.

故函数的定义域为

∪(k∈Z)．

又f(－x)＋f(x)＝lg＋lg

＝lg＝0，

即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．

判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f－x与fx的关系.

 [变式训练3]　判断函数y＝的奇偶性．

解：函数的定义域为{x|x≠kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z}，其关于原点对称．

又f(－x)＝＝＝－＝－f(x)．所以函数y＝是奇函数．

命题视角2：正切函数的单调性

[例4]　求函数y＝tan的定义域，单调区间和周期．

[分析]　尝试利用整体替换的方法解不等式求出定义域和单调区间，利用公式T＝求函数的周期．

[解]　由2x－≠kπ＋，k∈Z可得：

x≠＋π，k∈Z，

∴原函数的定义域为.

由kπ－<2x－<kπ＋，k∈Z得：

－<x<＋π，k∈Z.

∴原函数的单调增区间为，k∈Z，

由T＝＝，∴原函数的周期为.

[变式训练4]　求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．

解：由x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠2kπ＋，k∈Z.

所以函数y＝tan的定义域为，T＝＝2π，

由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)得

2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)．

所以函数y＝tan的单调增区间为

(k∈Z)．

类型三　　　　　　正切函数的性质的应用

 [例5]　比较tan与tan的大小．

[分析]　可先把角化归到同一单调区间内，再利用y＝tanx在上的单调性判断大小关系．

[解]　tanπ＝tan＝tanπ，

tan＝－tan

＝－tan＝tanπ，

又－<π<π<，y＝tanx在上是单调递增函数，所以tan>tan.

[变式训练5]　不求值，比较下列各组中的两个正切函数值的大小．

(1)tan156°与tan171°；

(2)tan与tan.

解：(1)90°<156°<171°<270°，而90°＝，270°＝π，

∵函数y＝tanx在上是增函数，

∴tan156°<tan171°.

(2)tan＝－tan＝－tan＝tan，

tan＝－tan＝－tan＝tan.

∵函数y＝tanx在上是增函数，

而－<<<，

∴tan<tan，即tan>tan.

类型四　　　　　　正切函数的图像

 [例6]　用正切函数的图像求满足tanx≥的x的取值范围．

[分析]　作出函数y＝tanx在一个周期内的图像，确定满足条件的x的取值范围，再求出整个定义域内的解．

[解]　如图，利用图像知，在区间x∈上满足tanx≥的x的取值范围为，由正切函数的周期性知，满足tanx≥的x的取值范围为(k∈Z)．

[变式训练6]　利用函数图像解不等式－1≤tanx≤.

解：作出函数y＝tanx，x∈的图像，如图所示．观察图像可得，在内，自变量x应满足－≤x≤，由正切函数的周期性可知，不等式的解集为.

1．下列叙述函数y＝tanx的性质的语句中正确的个数是(　C　)

①在上是增函数；②是奇函数；③最小正周期为2π；④图像关于原点对称．

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：根据正切函数的性质①②④正确，③不正确．

2．与函数y＝3tan的图像不相交的一条直线是(　D　)

A．x＝  B．x＝－

C．x＝  D．x＝

解析：当x＝时，2x＋＝，y＝3tan(2x＋)无意义，故选D.

3．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的(　C　)

解析：在上，cosx>0，f(x)＝tanx，所以在上其图像与y＝tanx的图像相同，在和上，cosx<0，f(x)＝－tanx，所以在这两段上其图像是y＝tanx的图像关于x轴的对称图像．

4．函数y＝tan的递增区间是(k∈Z)．

解析：由kπ－<＋<kπ＋，k∈Z可以解得：

2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.