高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

1.如果用i，j分别表示与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量，且A（2，3），B（4，2），则可以表示为（　　）

A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j

【答案】C

【解析】记O为坐标原点，则=2i+3j，=4i+2j，故=2i-j.

2.已知向量=（2，4），=（0，2），则=（　　）

A.（-2，-2） B.（2，2） C.（1，1） D.（-1，-1）

【答案】A

【解析】=（-2，-2）.

3.已知=（-2，4），则下列说法正确的是（　　）

A.A点的坐标是（-2，4）

B.B点的坐标是（-2，4）

C.当B是原点时，A点的坐标是（-2，4）

D.当A是原点时，B点的坐标是（-2，4）

【答案】D

【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同.

4.设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，设a=（x2+x+1）i-（x2-x+1）j（x∈R），则向量a对应的坐标位于（　　）

A.第一、二象限 

B.第二、三象限

C.第三象限 

D.第四象限

【答案】D

【解析】因为x2+x+1=>0，x2-x+1=>0，所以向量a对应的坐标位于第四象限.

5.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A（5，-1），B（-1，7），C（1，2），则顶点D的坐标为（　　）

A.（-7，0） B.（7，6） C.（6，7） D.（7，-6）

【答案】D

【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以.

设D（x，y），则有（-1-5，7+1）=（1-x，2-y），

即解得

因此点D的坐标为（7，-6）.

6.如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=　　　　　. 

【答案】（-3，-5）

【解析】=（1，3）-（2，4）=（-1，-1），

=（-1，-1）-（2，4）=（-3，-5）.

7.已知点A（3，-4）与B（-1，2），点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标为　　　　　. 

【答案】（1，-1）

【解析】设点P的坐标为（x，y）.

由题意知，当点P在线段AB上时，.

∴（x-3，y+4）=（-1-x，2-y），

∴解得

∴P点坐标为（1，-1）;

当P在线段AB延长线上时，=-，

∴（x-3，y+4）=-（-1-x，2-y），

∴此时无解.

综上所述，点P的坐标为（1，-1）.

8.作用于原点的两个力F1=（1，1），F2=（2，3），为使它们平衡，需加力F3=　　　　　. 

【答案】（-3，-4）

【解析】由题意可知F1+F2+F3=0，

故F3=-F1-F2=-（1，1）-（2，3）=（-3，-4）.

9.已知a=，点B的坐标为（1，0），b=（-9，12），c=（-2，2），且a=b-c，求点A的坐标.

解：∵b=（-9，12），c=（-2，2），

∴b-c=（-7，10），即a=（-7，10）=.

又B（1，0），设点A的坐标为（x，y），

则=（1-x，-y）=（-7，10），

∴

即点A的坐标为（8，-10）.

10.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立平面直角坐标系，如图所示.i是x轴正方向上的单位向量，j是y轴正方向上的单位向量，试求的坐标.

解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB=4，AD=3，

所以=4i+3j，所以=（4，3）.

又=-，

所以=-4i+3j，所以=（-4，3）.

11.在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别求出它们的坐标.

解：设a=（a1，a2），b=（b1，b2），c=（c1，c2），

则a1=|a|cos 45°=2×，a2=|a|sin 45°=2×，

b1=|b|cos 120°=3×=-，b2=|b|sin 120°=3×，

c1=|c|cos（-30°）=4×=2，c2=|c|sin（-30°）=4×=-2.

故a=（），b=，c=（2，-2）.

1.对于向量m=（x1，y1），n=（x2，y2），定义m⊗n=（x1x2，y1y2）.已知a=（2，-4），且a+b=a⊗b，那么向量b等于（　　）

A. 

B.

C. 

D.

【答案】A

【解析】设b=（x，y），由新定义及a+b=a⊗b，可得（2+x，y-4）=（2x，-4y），

所以解得，所以向量b=.

2.已知A（-3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，

设=λ+（1-λ）（λ∈R），则λ的值为（　　）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】如图所示，因为∠AOC=45°，所以设C（x，-x），则=（x，-x）.

又A（-3，0），B（0，2），所以λ+（1-λ）=（-3λ，2-2λ），所以解得λ=.

3.已知点A（1，1），B，且=（sin α，cos β），α，β∈，则α+β=　　　　　. 

【答案】或-

【解析】因为=（sin α，cos β），

所以sin α=-，cos β=.

又α，β∈，所以α=-，β=或-，

所以α+β=或-.

4.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=150°，则向量的坐标为　　　　　. 

【答案】（-，1）

【解析】设=（m，n），则m=||cos 150°=2×=-，n=||sin 150°=2×=1，

故的坐标为（-，1）.

5.若向量a=（2x-1，x2+3x-3）与相等，已知A（1，3），B（2，4），则a=　　　　　，x=　　　　　. 

【答案】（1，1）　1

【解析】∵=（2，4）-（1，3）=（1，1），

又=a=（2x-1，x2+3x-3），

∴解得x=1.

6.已知点A（-1，2），B（2，8）及=-，求点C，D和的坐标.

解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），

由题意可得=（x1+1，y1-2），=（3，6），=（-1-x2，2-y2），=（-3，-6）.

∵=-，

∴（x1+1，y1-2）=（3，6），（-1-x2，2-y2）=（3，6），

由解得

由解得

∴点C，D的坐标分别为（2，8）和（-4，-4），

∴=（-6，-12）.

7.已知点O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=a，=b，=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，试用a，b表示c.

解：如图，以O为原点，向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.

因为|a|=2，所以a=（2，0）.

设b=（x1，y1），则x1=|b|cos 150°=1×=-，y1=|b|sin 150°=1×，所以b=.

同理可得c=.

设c=λ1a+λ2b（λ1，λ2∈R），所以=λ1（2，0）+λ2，

所以解得

所以c=-3a-3b.

8.已知点O（0，0），A（1，2）.

（1）若B（3t+1，3t+2），，则t为何值时，点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?

（2）若点B（4，5），P（1+3t，2+3t），则四边形OABP能为平行四边形吗?若能，求出t的值;若不能，请说明理由.

解：（1）因为O（0，0），A（1，2），B（3t+1，3t+2），所以=（3t，3t），

所以=（1，2）+（3t，3t）=（1+3t，2+3t），若点P在x轴上，则2+3t=0，解得t=-;

若点P在y轴上，则1+3t=0，解得t=-;

若点P在第二象限，则

解得-<t<-.

（2）=（1，2），=（3-3t，3-3t）.

若四边形OABP为平行四边形，则，

即该方程组无解.

故四边形OABP不能成为平行四边形.