高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时随堂练习题

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8.6.2　直线与平面垂直第1课时　直线与平面垂直的判定定理1.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（　　）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能【答案】D2.在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC，则点S在平面ABC上的射影一定在（　　）A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的垂直平分线上D.∠BAC的平分线上【答案】C【解析】如图，设点S在平面ABC上的射影为点O，连接OA，OB，OC，则SO⊥平面ABC.因为SA=SB=SC，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心，所以点S在平面ABC上的射影一定在BC边的垂直平分线上.3.如图①，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，现在沿AE，AF及EF，把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，则下列结论正确的是（　　）A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF【答案】A【解析】依题意，AH⊥HF，AH⊥HE，所以AH⊥平面EFH.4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，下列能使A1C⊥BC1的是（　　）A.AB=ACB.AA1=ACC.BB1=ABD.CC1=BC【答案】B【解析】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AB，AA1∩AC=A，所以AB⊥平面AA1C1C.又A1C⊂平面AA1C1C，所以AB⊥A1C.如图，连接AC1，若AA1=AC，则矩形AA1C1C为正方形，所以A1C⊥AC1.又AB∩AC1=A，所以A1C⊥平面ABC1.又BC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥BC1.5.在三棱锥P-ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影.若点P满足以下两种情形:①点P到△ABC三边的距离相等;②PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等.则点O分别是△ABC的（　　）A.重心，垂心B.内心，外心C.内心，垂心D.垂心，外心【答案】B【解析】若点P到△ABC三边的距离相等，则点O到△ABC三边的距离相等，故点O是△ABC的内心;若PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O到点A，B，C的距离相等，故点O是△ABC的外心.6.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有　　　　　个直角三角形.【答案】4【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个.7.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点.（1）求证:AC⊥BC1;（2）求证:AC1∥平面CDB1.证明：（1）∵AC=3，AB=5，BC=4，∴在△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC.又CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥CC1.又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.（2）设B1C交BC1于点E，则点E为BC1的中点，连接DE（图略），又D是AB中点，则在△ABC1中，DE∥AC1.又DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.8.如图，AB为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M为圆周上不同于点A，B的任意一点，AN⊥PM，N为垂足.（1）求证:AN⊥平面PBM;（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证:NQ⊥PB.证明：（1）∵AB为圆O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又PA∩AM=A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，BM∩PM=M，∴AN⊥平面PBM.（2）由（1）知AN⊥平面PBM，又PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又AQ⊥PB，AN∩AQ=A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴NQ⊥PB.9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是边长为1的菱形，∠ADC=60°，PA=，M是PB的中点.（1）求证:PD∥平面ACM;（2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.（1）证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接OM.因为底面ABCD是菱形，所以O是BD的中点.又M是PB的中点，所以OM∥PD.又OM⊂平面ACM，PD⊄平面ACM，所以PD∥平面ACM.（2）解：如图，取AB的中点E，连接ME，CE，由题意可知，△ACB是等边三角形，所以CE⊥AB.因为M是PB的中点，E是AB的中点，所以ME∥PA，ME=PA.又PA⊥平面ABCD，所以ME⊥平面ABCD，所以ME⊥CE.又AB∩ME=E，所以CE⊥平面PAB，所以∠CME是直线CM与平面PAB所成的角.因为ME=PA=，CE=，所以CM=，所以sin∠CME=.1.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是（　　）A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD【答案】D【解析】在正六边形ABCDEF中，易知CD∥AF，DF⊥AF，CF∥AB，由线面平行的判定定理，可知CD∥平面PAF，CF∥平面PAB，故A，C正确.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF，PA∩AF=A，所以DF⊥平面 PAF，故B正确.易知CF与AD不垂直，故D错误.故选D.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　）A.64 B.64 C.48 D.64【答案】B【解析】因为正方形ABCD的面积为16，所以AB=BC=4.如图，连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B=30°，所以BC1=4，所以CC1==4.所以该长方体的体积V=16×4=64.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P一定（　　）A.在线段B1C上B.在线段BC1上C.在BB1的中点与CC1的中点连成的线段上D.在BC的中点与B1C1的中点连成的线段上【答案】A【解析】如图，易知BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上.4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是侧面AA1D1D与底面ABCD的中心，则下列说法:①DF∥平面D1EB1;②异面直线DF与B1C所成的角为60°;③ED1与平面B1DC垂直;④.其中错误的个数为（　　）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】如图.对于①，因为DF∥B1D1，DF⊄平面D1EB1，B1D1⊂平面D1EB1，所以DF∥平面D1EB1，所以①正确;对于②，因为DF∥B1D1，所以∠CB1D1（或其补角）是异面直线DF与B1C所成的角，因为△B1D1C是正三角形，所以∠CB1D1=60°，所以②正确;对于③，因为ED1⊥A1D，ED1⊥CD，A1D∩CD=D，所以ED1⊥平面A1B1CD，即ED1⊥平面B1DC，所以③正确;对于④，×S△CDF×1=×1××1=，所以④正确.故选A.5.（多选题）如图，关于正方体ABCD-A1B1C1D1，下面结论正确的是（　　）A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°【答案】ABC【解析】由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确;因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确;由于AD∥BC，则∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，为45°，所以D错误.6.已知三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，PC=2，点P到AC，BC的距离均为，那么P到底面ABC的距离为　　　　　，直线PC与平面ABC所成的角为　　　　　. 【答案】【解析】如图，作PD，PE分别垂直于AC，BC，PO⊥平面ABC.连接CO，OD，OE，知CD⊥PD，CE⊥PE，CD⊥PO，PD∩PO=P，∴CD⊥平面PDO，又OD⊂平面PDO，∴CD⊥OD.同理CE⊥OE，∵PD=PE=，PC=2，∴CE=CD=1，又∠CEO=∠CDO=，AC⊥BC，∴△CEO≌△CDO，且∠ACO=∠BCO=.∴OC=，又PC=2，∴PO=，∴sin∠PCO=，∴∠PCO=.7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，且PA=AB=BC，E是PC的中点.求证:（1）CD⊥AE;（2）PD⊥平面ABE.证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.（2）由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB=A，所以PD⊥平面ABE.8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点.（1）求证:PB∥平面ACM;（2）求证:AD⊥平面PAC;（3）求直线AM与平面ABCD所成的角的正切值.（1）证明：如图，连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，又M为PD的中点，∴PB∥MO.又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM.（2）证明：∵∠ADC=45°，AD=AC=1，∴∠DAC=90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD.又AC∩PO=O，∴AD⊥平面PAC.（3）解：如图，取DO的中点N，连接MN，AN.∵M为PD的中点，∴MN∥PO，MN=PO=1.又PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中，AD=1，AO=，∴DO=，∴AN=DO=.在Rt△ANM中，tan∠MAN=.故直线AM与平面ABCD所成的角的正切值为.