2020-2021学年6.2 平面向量的运算第2课时同步训练题

这是一份2020-2021学年6.2 平面向量的运算第2课时同步训练题，共5页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
6.2.4　向量的数量积第2课时　向量数量积的应用1.已知向量a，b和实数λ，下列选项错误的是（　　）A.|a|=B.|a·b|>|a||b|C.λ（a·b）=λa·bD.|a·b|≤|a||b|【答案】B2.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a+2b与λa-b垂直，则实数λ等于（　　）A. B.- C.± D.1【答案】A【解析】由题意知（3a+2b）·（λa-b）=3λa2+（2λ-3）a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0，解得λ=.3.已知向量a，b满足|a|=，|b|=2，a·b=-3，则|a+2b|=（　　）A.1 B. C.4+ D.2【答案】B【解析】根据题意，得|a+2b|=.故选B.4.在四边形ABCD中，，且=0，则四边形ABCD是（　　）A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【答案】B【解析】由知四边形ABCD是平行四边形，由=0知AC⊥BD，即对角线互相垂直，因此四边形ABCD是菱形.5.若向量a与b的夹角为60°，|b|=4，（a+2b）·（a-3b）=-72，则|a|=（　　）A.2 B.4 C.6 D.12【答案】C【解析】∵（a+2b）·（a-3b）=|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96，又（a+2b）·（a-3b）=-72，∴|a|2-2|a|-96=-72，解得|a|=6或|a|=-4（舍去），∴|a|=6.6.已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α=，若向量a=3e1-2e2，则|a|=　　　　　. 【答案】3【解析】∵|a|2=（3e1-2e2）·（3e1-2e2）=9-12e1·e2+4=9-12×1×1×+4=9，∴|a|=3.7.已知向量a，b满足（a+2b）·（5a-4b）=0，且|a|=|b|=1，则a与b的夹角θ为　　　　　. 【答案】【解析】因为（a+2b）·（5a-4b）=0，|a|=|b|=1，所以6a·b-8+5=0，即a·b=.又a·b=|a||b|cos θ=cos θ，所以cos θ=.又θ∈[0，π]，所以θ=.8.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a+2b与a-2b的夹角为120°，则=　　　　　. 【答案】【解析】∵a⊥b，∴a·b=0，（a+2b）·（a-2b）=a2-4b2，|a+2b|=，|a-2b|=，∴a2-4b2=×cos 120°，化简得a2-2b2=0，∴.9.已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为60°，计算:（1）（2a+b）·（2a-b）;（2）|4a-2b|.解：（1）由题意得（2a+b）·（2a-b）=（2a）2-b2=4|a|2-|b|2=4×42-82=0.（2）∵|4a-2b|2=（4a-2b）2=16a2-16a·b+4b2=16×42-16×4×8×cos 60°+4×82=256，∴|4a-2b|=16.10.已知非零向量a，b满足|a|=1，且（a-b）·（a+b）=.（1）求|b|;（2）当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值.解：（1）因为（a-b）·（a+b）=，即|a|2-|b|2=，又|a|=1，所以|b|2=|a|2-=1-，故|b|=.（2）由题意可知|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1，故|a+2b|=1.又因为a·（a+2b）=|a|2+2a·b=1-，所以cos θ=，又θ∈[0，π]，故θ=.1.若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）⊥（3a+2b），则a与b的夹角为（　　）A. B. C. D.π【答案】A【解析】设a与b的夹角为θ，因为（a-b）⊥（3a+2b），所以（a-b）·（3a+2b）=0，即3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0，再由|a|=|b|，得|b|2-|b|2cos θ-2|b|2=0，得cos θ=，又θ∈[0，π]，所以θ=.2.已知|a|=|b|=|c|=1，且满足3a+mb+7c=0，其中a，b的夹角为60°，则实数m=　　　　　. 【答案】5或-8【解析】因为3a+mb+7c=0，所以3a+mb=-7c，所以（3a+mb）2=（-7c）2，即9+m2+6ma·b=49，又a·b=|a||b|cos 60°=，所以m2+3m-40=0，解得m=5或m=-8.3.已知|a|=2|b|=2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b上的投影向量为-e.（1）a与b的夹角θ=　　　　　; （2）若向量λa+b与向量a-3b互相垂直，则λ=　　　　　. 【答案】（1）　（2）【解析】（1）由题意知|a|=2，|b|=1.又因为向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe=-e，所以cos θ=-，又θ∈[0，π]，所以θ=.（2）由（1）可知，θ=，故a·b=|a||b|cos=-1.又因为λa+b与a-3b互相垂直，所以（λa+b）·（a-3b）=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，所以λ=.4.设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　　. 【答案】4【解析】方法一:由a+b+c=0，得c=-a-b.又∵（a-b）⊥c，∴（a-b）·c=0，∴（a-b）·（-a-b）=0，即a2=b2，|a|=|b|=1.∵a⊥b，∴a·b=0，∴|c|2=c2=（-a-b）2=（a+b）2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.方法二:如图，作=a.=b，则=c.∵a⊥b，∴AB⊥BC，又a-b=，（a-b）⊥c，∴CD⊥CA，∴△ABC是等腰直角三角形.∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.5.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若|ka+b+c|>1（k∈R），则k的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】{k|k<0或k>2}【解析】因为|ka+b+c|>1，所以（ka+b+c）·（ka+b+c）>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.因为a·b=a·c=b·c=cos 120°=-，所以k2-2k>0，所以解得k<0或k>2，即k的取值范围是{k|k<0或k>2}.6.在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2.（1）若四边形ABCD是矩形，求的值;（2）若四边形ABCD是平行四边形，且=6，求夹角的余弦值.解：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以=0，由=2，得=-.所以=（）·（）=·=36-×81=18.（2）由题意，，所以=36--18=18-.又=6，所以18-=6，所以=36.设的夹角为θ，又=||·||cos θ=9×6×cos θ=54cos θ，所以54cos θ=36，即cos θ=.所以夹角的余弦值为.