高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第1课时习题

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6.2.4　向量的数量积第1课时　向量数量积的概念1.已知a，b为单位向量，a与b的夹角为60°，则a·b=（　　）A. B. C.1 D.-【答案】A【解析】a·b=1×1×cos 60°=.2.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角θ为（　　）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件可知，cos θ=，又θ∈[0，π]，故θ=.3.若|m|=4，|n|=6，m与n的夹角θ为45°，则m·n=（　　）A.12 B.12 C.-12 D.-12【答案】B【解析】由已知条件得m·n=|m||n|cos θ=4×6×=12.4.已知|a|=6，|b|=3，a·b=-12，且e是与b方向相同的单位向量，则向量a在向量b方向上的投影向量为（　　）A.-4e B.4e C.-2e D.2e【答案】A【解析】根据投影向量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θe=·e=-4e.故选A.5.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·=-36，则a与b的夹角为（　　）A.60° B.120° C.135° D.150°【答案】B【解析】设a与b的夹角为θ.由（3a）·=-36，得a·b=-60，即|a||b|cos θ=-60，已知|a|=10，|b|=12，解得cos θ=-，又0°≤θ≤180°，故夹角θ为120°.6.已知平面上三点A，B，C，满足||=3，||=4，||=5，则的值等于（　　）A.-7 B.7 C.25 D.-25【答案】D【解析】由条件知∠ABC=90°，所以原式=0+4×5×cos（180°-C）+5×3×cos（180°-A）=-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25.7.已知|b|=3，向量a在向量b方向上的投影向量为e（其中e是与b方向相同的单位向量），则a·b的值为（　　）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θe=e，即|a|cos θ=，∴a·b=|a||b|cos θ=3×.8.在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，则向量与向量的夹角为　　　　　. 【答案】135°9.已知a，b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3，若a⊥b，则a·b=　　　　　. 【答案】010.已知在△ABC中，AB=AC=4，=8，则△ABC的形状是　　　　　　　　. 【答案】等边三角形【解析】=||||cos∠BAC，即8=4×4×cos∠BAC，于是cos∠BAC=.因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60°.又AB=AC，故△ABC是等边三角形.11.已知a·b=-9，向量a在向量b上的投影向量为-3e1（e1是与b方向相同的单位向量），向量b在向量a上的投影向量为-e2（e2是与a方向相同的单位向量），求a与b的夹角θ.解：由题意可知∴∴cos θ==-.又θ∈[0，π]，∴θ=.12.如图，已知△ABC是等边三角形.（1）求向量与向量的夹角;（2）若点E为BC的中点，求向量的夹角.解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°.如图，延长AB至点D，使AB=BD，则，∴∠DBC为向量与向量的夹角.又∠DBC=120°，∴向量与向量的夹角为120°.（2）∵点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴的夹角为90°.