高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课堂检测

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

1.在下列向量组中，可以把向量a=（3，2）表示出来的是（　　）

A.e1=（0，0），e2=（1，2） 

B.e1=（-1，2），e2=（5，-2）

C.e1=（3，5），e2=（6，10） 

D.e1=（2，-3），e2=（-2，3）

【答案】B

【解析】只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.

2.已知点A（1，1），B（4，2）和向量a=（2，λ），若a∥，则实数λ的值为（　　）

A.- B. C. D.-

【答案】C

【解析】根据A，B两点的坐标，可得=（3，1），

∵a∥ ，∴2×1-3λ=0，解得λ=.

3.若向量a=（-1，x）与b=（-x，2）共线且方向相同，则x的值为（　　）

A. B.- C.2 D.-2

【答案】A

【解析】因为向量a=（-1，x）与b=（-x，2）共线，所以（-1）×2-x（-x）=0，解得x=±，又向量a与b方向相同，所以x=.

4.已知向量a=（2，1），b=（3，4），c=（k，2）（k∈R）.若（3a-b）∥c，则k的值为（　　）

A.-8 B.-6 C.-1 D.6

【答案】B

【解析】由题意得3a-b=（3，-1），因为（3a-b）∥c，所以6+k=0，解得k=-6.

5.已知向量a=（1-sin θ，1），b=，且a∥b，则锐角θ等于（　　）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【答案】B

【解析】由a∥b，可得（1-sin θ）（1+sin θ）-=0，

即cos θ=±，而θ是锐角，故θ=45°.

6.已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（k+1，k-2），若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是（　　）

A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1

【答案】C

【解析】因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，

则，又=（1，2），=（k，k+1），

所以2k-（k+1）=0，解得k=1.

7.已知点A（1，-2），若线段AB的中点坐标为（3，1），且与向量a=（1，λ）共线，则实数λ=　　　　　.

【答案】

【解析】由题意得，点B的坐标为（3×2-1，1×2+2）=（5，4），则=（4，6）.

又∵与a=（1，λ）共线，∴4λ-6=0，解得λ=.

8.已知=（k，2），=（1，2k），=（1-k，-1），且相异三点A，B，C共线，则实数k=　　　　　. 

【答案】-

【解析】=（1-k，2k-2），=（1-2k，-3），由题意可知∥ ，所以（-3）×（1-k）-（2k-2）（1-2k）=0，解得k=-或k=1，当k=1时，A，B重合，故舍去.所以实数k的值为-.

9.已知向量a=（-2，3），b∥a，向量b的起点为A（1，2），终点B在坐标轴上，则点B的坐标为　　　　　. 

【答案】

【解析】由b∥a，可设b=λa=（-2λ，3λ）（λ∈R）.设B（x，y），则=（x-1，y-2）=b.

故解得

又点B在坐标轴上，则1-2λ=0或3λ+2=0，

当1-2λ=0，即λ=时，x=0，y=;

当3λ+2=0，即λ=-时，x=，y=0.

所以B.

10.已知a=（1，0），b=（2，1）.

（1）求a+3b的坐标;

（2）当k为何实数时，ka-b与a+3b平行，平行时它们是同向还是反向?

解：（1）因为a=（1，0），b=（2，1），

所以a+3b=（1，0）+（6，3）=（7，3）.

（2）ka-b=（k-2，-1），a+3b=（7，3），

因为ka-b与a+3b平行，所以3（k-2）+7=0，解得k=-，此时ka-b=，

即当k=-时，ka-b与a+3b平行，方向相反.

11.如图所示，在平行四边形ABCD中，A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），M，N分别为DC，AB的中点，求的坐标，并判断是否共线.

解：由中点坐标公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），故=（2.5，2.5），=（-2.5，-2.5），

又因为2.5×（-2.5）-2.5×（-2.5）=0，

所以共线.

1.（多选题）已知A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0），则下列结论正确的是（　　）

A.直线OC与直线BA平行

B.

C.

D.-2

【答案】ACD

【解析】因为=（-2，1），=（2，-1），

所以=-，

又直线OC，BA不重合，

所以直线OC∥BA，

所以A中结论正确;

因为，

所以B中结论错误;

因为=（0，2）=，

所以C中结论正确;

因为=（-4，0），-2=（0，2）-2（2，1）=（-4，0），

所以D中结论正确.

2.已知向量a=（1，0），b=（0，1），c=ka+b（k∈R），d=a-b，如果c∥d，那么（　　）

A.k=1且c与d同向 

B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向

D.k=-1且c与d反向

【答案】D

【解析】∵c∥d，故可设c=λd（λ∈R），

∴ka+b=λ（a-b），得解得k=λ=-1，

∴c=-d，且c与d反向.

3.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，-5），则第四个顶点的坐标是（　　）

A.（1，5）或（5，5）

B.（1，5）或（-3，-5）

C.（5，-5）或（-3，-5）

D.（1，5）或（5，-5）或（-3，-5）

【答案】D

【解析】设A（-1，0），B（3，0），C（1，-5），第四个顶点为D，

若这个平行四边形为▱ABCD，

则，∴D（-3，-5）;

若这个平行四边形为▱ACDB，

则，∴D（5，-5）;

若这个平行四边形为▱ACBD，则，

∴D（1，5）.

综上所述，D点坐标为（1，5）或（5，-5）或（-3，-5）.

4.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量p=（a+c，b），q=（b，c-a），若p∥q，则角C为（　　）

A. B. 

C. D.

【答案】C

【解析】因为p=（a+c，b），q=（b，c-a），且p∥q，

所以（a+c）（c-a）-b·b=0，即c2=a2+b2，

所以角C为.

5.已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，），若a-2b与c共线，则实数k=　　　　　. 

【答案】1

【解析】a-2b=（，3），由a-2b与c共线，得3k=，解得k=1.

6.已知=（6，1），=（4，k），=（2，1）.若A，C，D三点共线，则实数k=　　　　　. 

【答案】4

【解析】因为=（6，1），=（4，k），=（2，1），

所以=（10，k+1）.

又A，C，D三点共线，所以，所以10×1-2（k+1）=0，解得k=4.

7.已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（5-m，-3-m），若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为　　　　　. 

【答案】m≠

【解析】=（6，-3）-（3，-4）=（3，1），=（5-m，-3-m）-（3，-4）=（2-m，1-m），由于点A，B，C能构成三角形，则不共线，则3（1-m）-（2-m）≠0，解得m≠.

8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A（2，6），B（6，4），C（5，0），D（1，0），则直线AC与BD交点P的坐标为　　　　　. 

【答案】

【解析】=（5，4），=（-3，6），=（4，0）.

由B，P，D三点共线可得=λ=（5λ，4λ）（λ∈R）.

又=（5λ-4，4λ），

由共线得，（5λ-4）×6+12λ=0.

解得λ=，所以，

所以点P的坐标为.

9.已知点A（1，1），B（3，-1），C（a，b）.

（1）若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系;

（2）若=2，求点C的坐标.

解：（1）若A，B，C三点共线，则共线.

∵=（3，-1）-（1，1）=（2，-2），=（a-1，b-1），

∴2（b-1）-（-2）（a-1）=0，∴a+b=2.

（2）若=2，则（a-1，b-1）=（4，-4），

∴解得

∴点C的坐标为（5，-3）.

10.平面内给定三个向量a=（3，2），b=（-1，2），c=（4，1）.

（1）求满足a=mb+nc的实数m，n的值;

（2）若（a+kc）∥（2b-a），求实数k的值.

解：（1）因为a=mb+nc，所以（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n）.

所以解得

（2）因为（a+kc）∥（2b-a），

又a+kc=（3+4k，2+k），2b-a=（-5，2），

所以2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0，解得k=-.

11.已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证:AF=AE.

证明：如图，建立平面直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），设E（x，y），这里y>0，

于是=（1，1），=（x-1，y），=（x-1，y-1）.

∵，

∴1×y-（x-1）×1=0⇒y=x-1.①

∵AC=OC=CE，

∴CE2=OC2⇒（x-1）2+（y-1）2=2.②

由y>0，联立①②解得

即E.

AE=OE=+1.

设F（t，0）（t<0），

则=（1-t，1），.

∵F，C，E三点共线，

∴.

∴（1-t）××1=0，

解得t=-1-.

∴AF=OF=1+，

∴AF=AE.